Le second membre devient, par l’intégration par parties :
Remarquons maintenant que :
Si, en effet, dans les deux membres de ces relations, on développe les
elles deviennent des identités ; et souvenons-nous que
le second membre en question deviendra :
de sorte que finalement :
En égalant le coefficient de
dans les deux membres de (10) il vient :
C’est l’équation (2) du § précédent.
Voyons si le principe de moindre action nous donne la raison du succès de la transformation de Lorentz. Il faut d’abord voir ce que cette transformation fait de l’intégrale :
(formule 4 du § 2).
Nous trouvons d’abord
car
sont liés à
par des relations linéaires dont le déterminant est égal à
il vient ensuite :
(1)
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(formules 9 du § 1), d’où :