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$\delta \rho =\delta \rho \xi =0$ et la seconde intégrale est nulle. Comme $\delta J$ doit s’annuler, on doit avoir :

(8)

$f+{\frac {dF}{dt}}+{\frac {d\psi }{dx}}=0.$

Il reste donc dans le cas général :

(9)

$\delta J=\int dt\ d\tau \left(\psi \delta \rho -\sum F\delta \rho \xi \right).$

Il reste à déterminer les forces qui agissent sur les électrons. Pour cela nous devons supposer qu’on applique à chaque élément d’électron une force complémentaire $-Xd\tau ,$ $-Yd\tau ,$ $-Zd\tau ,$ et écrire que cette force fait équilibre aux forces d’origine électromagnétique. Soit $U,$ $V,$ $W$ les composantes du déplacement de l’élément $d\tau$ d’électron, déplacement compté à partir d’une position initiale quelconque. Soient $\delta U,$, $\delta V,$ $\delta W$ les variations de ce déplacement ; le travail virtuel correspondant de la force complémentaire sera :

$-\int \sum X\delta U\ d\tau ,$

de sorte que la condition d’équilibre dont nous venons de parler s’écrira :

(10)

$\delta J=-\int \sum X\delta U\ d\tau \ dt.$

Il s’agit de transformer $\delta J.$ Pour cela commençons par chercher l’équation de continuité exprimant que la charge d’un électron se conserve par la variation.

Soient $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}$ la position initiale d’un électron. Sa position actuelle sera :

$x=x_{0}+U,\quad y=y_{0}+V,\quad z=z_{0}+W.$

Nous introduirons en outre une variable auxiliaire $\epsilon ,$ qui produira les variations de nos diverses fonctions, de sorte que, pour une fonction $A$ quelconque, on ait :

$\delta A=\delta \epsilon {\frac {dA}{d\epsilon }}.$

Il me sera commode en effet de pouvoir passer de la notation du calcul des variations, à celle du calcul différentiel ordinaire, ou inversement.

Nos fonctions pourront être regardées : 1^o soit comme dépendant des cinq variables $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ $\epsilon ,$ de telle sorte qu’on reste toujours à la même place quand $t$ et $\epsilon$ varient seuls : nous désignerons alors leurs dérivées par des $d$ ordinaires ; 2^o soit comme dépendant des cinq variables $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0},$ $t,$ $\epsilon ,$ de telle sorte qu’on suive toujours un même électron quand $t$ et $\epsilon$ varient seuls ; nous désignerons alors leurs dérivées par des $\partial \,$ ronds. On aura alors :

(11)

$\xi ={\frac {\partial U}{\partial t}}={\frac {dU}{dt}}+\xi {\frac {dU}{dx}}+\eta {\frac {dU}{dy}}+\zeta {\frac {dU}{dz}}={\frac {\partial x}{\partial t}}.$

Désignons maintenant par $\Delta$ le déterminant fonctionnel de $x,$ $y,$, $z$ par rapport à