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et la seconde intégrale est nulle. Comme doit s’annuler, on doit avoir :

(8)

Il reste donc dans le cas général :

(9)

Il reste à déterminer les forces qui agissent sur les électrons. Pour cela nous devons supposer qu’on applique à chaque élément d’électron une force complémentaire et écrire que cette force fait équilibre aux forces d’origine électromagnétique. Soit les composantes du déplacement de l’élément d’électron, déplacement compté à partir d’une position initiale quelconque. Soient , les variations de ce déplacement ; le travail virtuel correspondant de la force complémentaire sera :


de sorte que la condition d’équilibre dont nous venons de parler s’écrira :

(10)

Il s’agit de transformer Pour cela commençons par chercher l’équation de continuité exprimant que la charge d’un électron se conserve par la variation.

Soient la position initiale d’un électron. Sa position actuelle sera :

Nous introduirons en outre une variable auxiliaire qui produira les variations de nos diverses fonctions, de sorte que, pour une fonction quelconque, on ait :

Il me sera commode en effet de pouvoir passer de la notation du calcul des variations, à celle du calcul différentiel ordinaire, ou inversement.

Nos fonctions pourront être regardées : 1° soit comme dépendant des cinq variables de telle sorte qu’on reste toujours à la même place quand et varient seuls : nous désignerons alors leurs dérivées par des ordinaires ; 2° soit comme dépendant des cinq variables de telle sorte qu’on suive toujours un même électron quand et varient seuls ; nous désignerons alors leurs dérivées par des ronds. On aura alors :

(11)

Désignons maintenant par le déterminant fonctionnel de , par rapport à