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On devra avoir

$\delta J=\int dt\ d\tau \left[\sum \alpha \left({\frac {d\delta H}{dy}}-{\frac {d\delta G}{dz}}\right)-\sum u\delta F\right]=0,$

ou, en intégrant par parties,

$\delta J=\int dt\ d\tau \left[\sum \left(\delta G{\frac {d\alpha }{dz}}-\delta H{\frac {d\alpha }{dy}}\right)-\sum u\delta F\right]=$ $=-\int dt\ d\tau \sum \delta F\left(u-{\frac {d\gamma }{dy}}+{\frac {d\beta }{dz}}\right)=0,$

d’où, en égalant à zéro le coefficient de l’arbitraire $\delta F,$

(3)

$u={\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}.$

Cette relation nous donne (avec une intégration par parties) :

$\int \sum Fud\tau =\int \sum F\left({\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}\right)d\tau =\int \sum \left(\beta {\frac {dF}{dz}}-\gamma {\frac {dF}{dy}}\right)d\tau =$ $=\int \sum \alpha \left({\frac {dH}{dy}}-{\frac {dG}{dz}}\right)d\tau ,$

ou

$\int \sum Fud\tau =\int \sum \alpha ^{2}d\tau ,$

d’où enfin :

(4)

$J=\int dt\ d\tau \left({\frac {\sum f^{2}}{2}}-{\frac {\sum \alpha ^{2}}{2}}\right).$

Désormais, et grâce à la relation (3), $\delta J$ est indépendant de $\delta F$ et par conséquent de $\delta \alpha \ ;$ faisons varier maintenant les autres variables.

Il vient, en revenant à l’expression (1) de $J,$

$\delta J=\int dt\ d\tau \left(\sum f\delta f-\sum F\delta u\right).$

Mais $f,\ g,\ h$ sont assujettis à la 1^ère des conditions (2), de sorte que

(5)

$\sum {\frac {d\delta f}{dx}}=\delta \rho ,$

et qu’il convient d’écrire :

(6)

$\delta J=\int dt\ d\tau \left[\sum fdf-\sum F\delta u-\psi \left(\sum {\frac {d\delta f}{dx}}-\delta \rho \right)\right].$

Les principes du calcul des variations nous apprennent que l’on doit faire le calcul comme si, $\psi$ étant une fonction arbitraire, $\delta J$ était représenté par l’expression (6) et si les variations n’étaient plus assujetties à la condition (5).

Nous avons d’autre part

$\delta u={\frac {d\delta f}{dt}}+\delta \rho \xi ,$

d’où, après intégration par parties,

(7)

$\delta J=\int dt\ d\tau \sum \delta f\left(f+{\frac {dF}{dt}}+{\frac {d\psi }{dx}}\right)+\int dt\ d\tau \left(\psi \delta \rho -\sum F\delta \rho \xi \right).$

Si nous supposons d’abord que les électrons ne subissent pas de variation,