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Page:Poincaré - Sur la dynamique de l’électron.djvu/10

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On devra avoir

,


ou, en intégrant par parties,

,


d’où, en égalant à zéro le coefficient de l’arbitraire ,

(3) .

Cette relation nous donne (avec une intégration par parties) :

,


ou

,


d’où enfin :

(4) .

Désormais, et grâce à la relation (3), est indépendant de et par conséquent de  ; faisons varier maintenant les autres variables.

Il vient, en revenant à l’expression (1) de ,

.

Mais , , sont assujettis à la 1ère des conditions (2), de sorte que

(5)


et qu’il convient d’écrire :

(6) .

Les principes du calcul des variations nous apprennent que l’on doit faire le calcul comme si, étant une fonction arbitraire, était représente par l'expression (6) et si les variations n’étaient plus assujetties à la condition (5).

Nous avons d’autre part

,


d’où, après intégration par parties,

(7)

Si nous supposons d’abord que les électrons ne subissent pas de variation,