XI. L’axiome de Zermelo.
Dans sa démonstration célèbre, M. Zermelo s’appuie sur l’axiome suivant :
Dans un ensemble quelconque (ou même dans chacun des ensembles d’un ensemble d’ensembles) nous pouvons toujours choisir au hasard un élément (quand même cet ensemble d’ensembles comprendrait une infinité d’ensembles). On avait appliqué mille fois cet axiome sans l’énoncer, mais dès qu’il fut énoncé, il souleva des doutes. Quelques mathématiciens, comme M. Borel, le rejetèrent résolument ; d’autres l’admirent. Voyons ce qu’en pense M. Russell, d’après son dernier article.
Il ne se prononce pas, mais les considérations auxquelles il se livre sont très suggestives.
Et d’abord un exemple pittoresque ; supposons que nous ayons autant de paires de bottes que de nombres entiers, de telle façon que nous puissions numéroter les paires depuis 1 jusqu’à l’infini ; combien aurons-nous de bottes ? le nombre des bottes sera-t-il égal au nombre des paires. Oui, si dans chaque paire, la botte droite se distingue de la botte gauche ; il suffira de donner le numéro 2n-1 à la botte droite de la ne paire et le numéro 2n à la botte gauche de la ne paire. Non, si la
