Les deux définitions ne sont pas identiques ; elles sont équivalentes sans doute, mais elles le sont en vertu d’un jugement synthétique a priori ; on ne peut pas passer de l’une à l’autre par des procédés purement logiques. Par conséquent nous n’avons pas le droit d’adopter la seconde, après avoir introduit le nombre entier par un chemin qui suppose la première.
Nous n’avons pas, comme dans le cas précédent, deux définitions équivalentes irréductibles logiquement l’une à l’autre. Nous n’en avons qu’une, exprimable par des mots. Dira-ton qu’il y en a une autre que nous sentons sans pouvoir l’énoncer parce que nous avons l’intuition de la ligne droite ou parce que nous nous représentons la ligne droite. Tout d’abord, nous ne pouvons pas nous la représenter dans l’espace géométrique, mais seulement dans l’espace représentatif, et puis nous pouvons nous représenter tout aussi bien les objets qui possèdent les autres propriétés de la ligne droite, sauf celle de satisfaire au postulatum d’Euclide. Ces objets sont les « droites non-euclidiennes » qui à un certain point de vue ne sont pas des entités vides de sens, mais des cercles (de vrais cercles du vrai espace) orthogonaux à une certaine sphère. Si parmi ces
