est antérieure à l’Arithmétique ; pour M. Hilbert, elles sont « simultanées ». Nous trouverons plus loin d’autres différences plus profondes encore. Mais nous les signalerons à mesure qu’elles se présenteront ; je préfère suivre pas à pas le développement de la pensée de Hilbert, en citant textuellement les passages les plus importants.
« Prenons tout d’abord en considération l’objet 1. » Remarquons qu’en agissant ainsi nous n’impliquons nullement la notion de nombre, car il est bien entendu que 1 n’est ici qu’un symbole et que nous ne nous préoccupons nullement d’en connaître la signification. « Les groupes formés avec cet objet, deux, trois ou plusieurs fois répété… » Ah, cette fois-ci, il n’en est plus de même, si nous introduisons les mots deux, trois et surtout plusieurs, nous introduisons la notion de nombre ; et alors la définition du nombre entier fini que nous trouverons tout à l’heure, arrivera bien tard. L’auteur était beaucoup trop avisé pour ne pas s’apercevoir de cette pétition de principe. Aussi, à la fin de son travail, cherche-t-il à procéder à un vrai replâtrage.
Hilbert introduit ensuite deux objets simples 1 et = et envisage toutes les combinaisons de ces deux objets, toutes les combinaisons de leurs combinaisons, etc. Il va sans dire qu’il faut oublier la signification habituelle de ces deux signes et ne leur en attribuer aucune. Il répartit ensuite ces combinaisons
