En géométrie nous rencontrons d’abord la notion de ligne droite. Peut-on définir la ligne droite ? La définition connue, le plus court chemin d’un point à un autre, ne me satisfait guère. Je partirais tout simplement de la règle et je montrerais d’abord à l’élève comment on peut vérifier une règle par retournement ; cette vérification est la vraie définition de la ligne droite ; la ligne droite est un axe de rotation. On lui montrerait ensuite à vérifier la règle par glissement et on aurait une des propriétés les plus importantes de la ligne droite. Quant à cette autre propriété d’être le plus court chemin d’un point à un autre, c’est un théorème qui peut être démontré apodictiquement, mais la démonstration est trop délicate pour pouvoir trouver place dans l’enseignement secondaire. Il vaudra mieux montrer qu’une règle préalablement vérifiée s’applique sur un fil tendu. Il ne faut pas redouter, en présence de difficultés analogues, de multiplier les axiomes, en les justifiant par des expériences grossières.
Ces axiomes, il faut bien en admettre, et si l’on en admet un peu plus qu’il n’est strictement nécessaire, le mal n’est pas bien grand ; l’essentiel est d’apprendre à raisonner juste sur les axiomes une fois admis. L’oncle Sarcey qui aimait à se répéter disait souvent
