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analyse de l’hypothèse de laplace
par suite nous pouvons écrire
![{\displaystyle \mathrm {V} _{2}={\frac {\omega ^{2}}{2\left(1+\mu \right)}}\left(2y^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc57fae2b6185bacdf906635062bd9a78c80e8e)
Le potentiel dû à la force centrifuge est
![{\displaystyle \mathrm {V} _{3}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\left(y^{2}+z^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ce0cbe0568f0f1c1559725c8faea085772edd2)
Nous voulons prouver que la masse fluide homogène peut prendre,
dans l’équilibre, la figure d’un ellipsoïde
(17)
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dont les axes sont dirigés suivant
On sait que Ie potentiel
d’attraction à l’intérieur d’un tel ellipsoïde homogène peut s’écrire
![{\displaystyle \mathrm {V} _{1}=-{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {P} x^{2}+\mathrm {Q} y^{2}+\mathrm {R} z^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09bc8b7597cf43b0049e9405d5a4394e3c896ee)
étant trois constantes. Si l’on désigne par
(18)
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les carrés des rapports d’un des axes de l’ellipsoïde aux deux autres,
ces trois constantes ont pour valeurs
(19)
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où l’on a posé
![{\displaystyle \Delta ={\sqrt {(1+u)(1+su)(1+tu)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035687bb7dddcc5c8ce6d4855f6350357fc049c0)
Donc, lorsque la masse homogène affecte la forme de l’ellipsoïde
(17), le potentiel total a pour valeur
![{\displaystyle \mathrm {V_{1}+V_{2}+V_{3}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d421279468abba1d1d2c230f0171d28c210637e4)