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analyse de l’hypothèse de laplace

les parties de

${\frac {d\mathrm {R} _{i}}{dr_{i}}},\qquad {\frac {d\mathrm {R} _{i}}{d\nu _{i}}},$

qui dépendent effectivement des $\rho _{i}$ et des $\sigma _{i}$. Les seconds membres des équations (2) sont des fonctions linéaires des $\rho _{i}$ et des $\sigma _{i}$, puisque nous nous en tenons aux termes du premier ordre. Les équations (2) forment un système d’équations différentielles linéaires à coefficients constants. On pourrait, suivant la méthode classique, les intégrer par des exponentielles de la forme

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\rho _{i}&=\mathrm {H} _{i}e^{\mathrm {N} t},\\[0.5ex]\sigma _{i}&=\mathrm {K} _{i}e^{\mathrm {N} t}.\\\end{aligned}}\right.$

Substituant ces valeurs dans les équations (2), on aurait un ensemble de 2p équations linéaires homogènes, entre lesquelles on éliminerait les $\mathrm {H} _{i}$ et les $\mathrm {K} _{i}.$ On trouverait ainsi une équation de degré 4p en $\mathrm {N} .$ À chaque racine $\mathrm {N}$ correspondrait pour les équations (2) une solution de la forme (3). Pour que le mouvement normal soit stable, il est nécessaire que $\rho _{i}$ et $\sigma _{i}$ restent toujours petits. Par suite, il faudrait écrire que toutes les valeurs de $\mathrm {N}$ ont leur partie réelle négative ou nulle. Cette méthode serait longue, aussi Maxwell procède-t-il indirectement. Il cherche pour les équations (2) une solution particulière de la forme

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\rho _{i}&=\mathrm {A} \cos \left(\alpha +2\gamma i\theta +nt\right),\\[0.5ex]\sigma _{i}&=\mathrm {B} \sin \left(\alpha +2\gamma i\theta +nt\right),\\\end{aligned}}\right.$

où $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,n$ et $\alpha$ désignent des constantes et $\gamma$ un entier positif. Il se trouve que, si l’on substitue à $\rho _{i}$ et à $\sigma _{i}$ ces valeurs (4), les seconds membres des équations (2) prennent respectivement la forme

${\begin{aligned}\omega ^{2}\mu \left[\mathrm {AL} _{\gamma }-\mathrm {BM} _{\gamma }\right]&\cos \left(\alpha +2\gamma i\theta +nt\right),\\\omega ^{2}\mu \left[\mathrm {AM} _{\gamma }+\mathrm {BN} _{\gamma }\right]&\sin \left(\alpha +2\gamma i\theta +nt\right),\end{aligned}}$

où $\mathrm {L} _{\gamma },\,\mathrm {M} _{\gamma },\,\mathrm {N} _{\gamma }$ sont trois constantes dépendant de l’entier $\gamma$. La substitution des valeurs (4) dans les équations (2) conduit donc aux deux équations

$\left\{{\begin{aligned}3\omega ^{2}\mathrm {A} +2\omega n\mathrm {B} +n^{2}\mathrm {A} &=\omega ^{2}\mu \left[\mathrm {AL} _{\gamma }-\mathrm {BM} _{\gamma }\right],\\-n^{2}\mathrm {B} -2\omega n\mathrm {A} &=\omega ^{2}\mu \left[\mathrm {AM} _{\gamma }+\mathrm {BN} _{\gamma }\right],\\\end{aligned}}\right.$