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hypothèses cosmogoniques

son angle polaire. Dans le mouvement normal non troublé, on aurait

$\rho _{i}=0,\qquad \sigma _{i}=0\,;$

et dans un mouvement peu différent, $\rho _{i}$ et $\sigma _{i}$ seront petits ; nous négligerons leurs carrés et produits.

Écrivons, en coordonnées polaires, les équations de mouvement de l’un quelconque des satellites, par exemple du satellite P₁ :

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}r_{1}}{dt^{2}}}-r_{1}\left({\frac {d\nu _{1}}{dt}}\right)^{2}&=-{\frac {\mathrm {M} }{r_{1}^{2}}}+{\frac {d\mathrm {R} _{1}}{dr_{1}}},\\[0.75ex]r_{1}{\frac {d^{2}\nu _{1}}{dt^{2}}}+2{\frac {d\nu _{1}}{dt}}{\frac {dr_{1}}{dt}}&={\frac {1}{r_{1}}}{\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\nu _{1}}}\,;\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {M}$ désigne la masse de Saturne, et

$\mathrm {R} _{1}=\sum _{j=2}^{j=p}{\frac {\mu \mathrm {M} }{\sqrt {r_{1}^{2}+r_{j}^{2}-2r_{1}r_{j}\,\cos(\nu _{j}-\nu _{1})}}}$

est le potentiel perturbateur dû à l’attraction de tous les autres satellites sur le satellite P₁. (Nous négligeons les attractions exercées sur Saturne par les satellites, attractions qui se compensent d’ailleurs presque exactement.)

Chaque satellite donne ainsi deux équations telles que les équations (1) : il y a donc en tout 2p équations entre les $\rho _{i}$ et les $\sigma _{i}$. Ces équations devant admettre la solution

$\rho _{i}=0,\qquad \sigma _{i}=0,$

les termes indépendants des $\rho _{i}$ et des $\sigma _{i}$ dans ces équations se détruiront et disparaîtront d’eux-mêmes. Si, dans ces 2p équations (1) nous ne conservons que les termes du premier ordre par rapport aux $\rho _{i}$ et aux $\sigma _{i}$, nous obtenons les équations

(2)

$\left\{{\begin{aligned}3\omega ^{2}\rho _{i}+2\omega \sigma _{i}'-\rho _{i}''&=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d(\delta \mathrm {R} _{i})}{d\rho _{i}}},\\[0.75ex]\sigma _{i}''+2\omega \rho _{i}'&={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d(\delta \mathrm {R} _{i})}{d\sigma _{i}}},\end{aligned}}\right.$

où nous avons désigné par

${\frac {1}{a}}{\frac {d(\delta \mathrm {R} _{i})}{d\rho _{i}}},\qquad {\frac {1}{a}}{\frac {d(\delta \mathrm {R} _{i})}{d\sigma _{i}}}$