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analyse de l’hypothèse de laplace

15.Quels seront les points de ces courbes où la tangente sera parallèle à $Oy$ ? On obtiendra ces points en différentiant par rapport à $y$ l’équation (1) de ces courbes, ce qui donne

$-{\frac {\mathrm {M} y}{r^{3}}}+\omega ^{2}y=0.$

Cette équation est satisfaite pour $y=0,$ les points de l’axe des x sont, en effet, des sommets pour nos courbes ; elle est satisfaite également pour

$\omega ^{2}r^{3}=\mathrm {M} \,;$

le lieu des points où la tangente sera parallèle à $Oy$ est donc (en dehors de l’axe des $x$) un cercle $\Gamma$ de rayon

$r={\sqrt[{3}]{\frac {\mathrm {M} }{\omega ^{2}}}}.$

En chaque point de ce cercle, on a

${\frac {\mathrm {M} y}{r^{3}}}=\omega ^{2}y,$

c’est-à-dire que la force centrifuge est égale et opposée à la composante de la gravité parallèle à $Oy.$ En particulier, aux deux points doubles A et A’, la force centrifuge balance exactement la pesanteur.

16.Cela posé, reprenons notre nébuleuse qui tourne tout d’une pièce. Son atmosphère, qui est supposée s’étendre aussi loin que possible, se termine nécessairement à la plus grande des surfaces de niveau dont la méridienne ne dépasse pas le cercle $\Gamma$, car, au delà de ce cercle la force centrifuge l’emporterait sur la pesanteur. La surface libre de l’atmosphère est donc engendrée par la révolution de la courbe à points doubles 3 autour de $Ox$ : cette surface présente une arête saillante tout le long de l’équateur. La surface de niveau qui vient immédiatement après n’enveloppe pas complètement les précédentes : elle s’ouvre à l’équateur, puis se développe en deux nappes infinies, comme le montre la figure 2.

Lorsque la nébuleuse se contractera par suite du refroidissement, la vitesse de rotation $\omega$ augmentera, d’après la loi des aires ; le rayon $r$ du cercle $\Gamma ,$ défini par

$r^{3}={\frac {\mathrm {M} }{\omega ^{2}}},$