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sur l’origine de la chaleur solaire et de la chaleur terrestre

Étudions la question au point de vue de la Thermodynamique.

Nous assimilerons tout d’abord le Soleil à un fluide parfait, c’est-à-dire que nous supposerons en tout point la pression $p$ uniforme et normale à l’élément plan qu’elle sollicite. Considérons un élément de volume

$d\tau =dx\,dy\,dz\,;$

appelons $\rho$ sa densité, $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ les composantes de la force (rapportée à l’unité de masse) qui lui est appliquée. Dans un déplacement virtuel $(\delta x,\,\delta y,\,\delta z)$ subi par cet élément, les forces accomplissent un travail

$(\mathrm {X} \,\delta x+\mathrm {Y} \,\delta y+\mathrm {Z} \,\delta z)\,\rho \,d\tau \,;$

et, pour tout l’ensemble de la masse fluide, le travail accompli dans un déplacement virtuel a pour valeur

$\delta \mathrm {W} =\iiint (\mathrm {X} \,\delta x+\mathrm {Y} \,\delta y+\mathrm {Z} \,\delta z)\,\rho \,d\tau .$

Les équations de l’Hydrostatique donnent

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}&=\rho \mathrm {X} ,\\[0.75ex]{\frac {dp}{dy}}&=\rho \mathrm {Y} ,\\[0.75ex]{\frac {dp}{dz}}&=\rho \mathrm {Z} \,;\end{aligned}}$

nous pouvons transformer $\delta \mathrm {W}$ par des intégrations par parties : nous avons par exemple

${\begin{aligned}\iiint \mathrm {X} \,\delta x\,\rho \,d\tau &=\iiint \delta x\,{\frac {dp}{dx}}\,dx\,dy\,dz\\[0.5ex]&=\iint \delta x\,p\,dy\,dz-\iiint p\,{\frac {d\,.\,\delta x}{dx}}\,d\tau \,;\end{aligned}}$

or, l’intégrale double est nulle parce que la pression $p$ est nulle à la surface libre du fluide. Il reste donc

$\delta \mathrm {W} =-\iiint p\left({\frac {d\,.\,\delta x}{dx}}+{\frac {d\,.\,\delta y}{dy}}+{\frac {d\,.\,\delta z}{dz}}\right)d\tau \,;$