Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/207

181

hypothèse de sir g. h. darwin

c’est-à-dire à

${\frac {\mathrm {M} ^{2}a^{6}w}{c^{6}g^{3}}}(n-\Omega ),$

ou encore à

${\frac {\mathrm {M} ^{2}a^{9}}{c^{6}m^{2}}}(n-\Omega ).$

Or, $\mathrm {M}$ (masse de la Lune) et $m$ (masse de la Terre) sont des constantes, et nous regarderons aussi $c$ (distance de la Lune à la Terre) comme constant. Par suite, le couple $\Gamma$ est proportionnel à

$a^{9}(n-\Omega ).$

Le moment de rotation $\mathrm {C} n$ de la Terre aura sa dérivée ${\frac {d(\mathrm {C} n)}{dt}}$ proportionnelle au couple $\Gamma$ : nous aurons donc l’équation

${\frac {d(\mathrm {C} n)}{dt}}=-\mathrm {A} a^{9}(n-\Omega ),$

$\mathrm {A}$ étant une certaine constante positive.

Comme $\mathrm {C}$, moment d’inertie de la Terre, est proportionnel au carré $a^{2}$ de son rayon, nous pouvons écrire l’équation précédente ainsi

${\frac {d(a^{2}n)}{dt}}=-\mathrm {B} a^{9}(n-\Omega ),$

$\mathrm {B}$ étant une nouvelle constante positive. De là nous tirons

(37)

${\frac {dn}{dt}}=-{\frac {2n}{a}}{\frac {da}{dt}}-\mathrm {B} a^{7}(n-\Omega ).$

Par suite du refroidissement, le rayon terrestre $a$ diminue, et ${\frac {da}{dt}}$ est négatif ; donc, au second membre de l’équation (37), nous avons un terme positif dû au refroidissement séculaire, et un terme négatif dû au frottement de la marée.

Posons

${\frac {dn}{dt}}=-\lambda a,$

$\lambda$ étant une quantité positive. L’équation (37) s’écrit

(38)

${\frac {dn}{dt}}=n(2\lambda -\mathrm {B} a^{7})+\mathrm {B} a^{7}\Omega .$