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hypothèses cosmogoniques

Or, nous avons pour la gravite $g$, à la surface de l’astre T

$g\propto {\frac {wa^{3}}{a^{2}}}\propto wa,$

et par suite

$\sin 2\varepsilon \propto {\frac {n-\Omega }{g^{2}}}\propto {\frac {n-\Omega }{a^{2}w^{2}}}\,\cdot$

Finalement, il vient

${\frac {dn}{dt}}\propto {\frac {\mathrm {M} ^{2}a}{c^{6}g}}{\frac {n-\Omega }{g^{2}}}\propto {\frac {\mathrm {M} ^{2}(n-\Omega )}{c^{6}w^{3}a^{2}}}\,\cdot$

Si la sphère T est la Terre et l’astre M la Lune, ces proportionnalités représentent la diminution de la rotation terrestre due à la marée lunaire.

Si, maintenant, nous voulions avoir la diminution ${\frac {dn'}{dt}}$ de la rotation de la Lune, due aux marées que la Terre produit sur la Lune, nous aurions

${\frac {dn'}{dt}}\propto {\frac {\mathrm {M} '^{2}(\omega -\Omega )}{c^{6}w'^{3}a'^{2}}}.$

où $\mathrm {M} '$ désigne cette fois la masse de la Terre, $w'$ et $a'$ la densité et le rayon de la Lune, $\omega$ sa vitesse angulaire de rotation.

Actuellement, les durées de rotation et de révolution de la Lune étant les mêmes, $\omega -\Omega$ est nul et il en est de même de ${\frac {dn'}{dt}}\,:$ l’action retardatrice de la Terre sur la Lune est épuisée. Mais il n’en a pas toujours été ainsi : à l’origine $\omega -\Omega$ était comparable à $n-\Omega$, et alors on avait

${\frac {\dfrac {dn'}{dt}}{\dfrac {dn}{dt}}}\propto \left({\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M} }}\right)^{2}\left({\frac {w}{w'}}\right)^{3}\left({\frac {a}{a'}}\right)^{2},$

ce qui, puisque

${\begin{aligned}\mathrm {M} &\propto w'a'^{3},\\\mathrm {M} '&\propto w\,a^{3},\end{aligned}}$

s’écrit

${\frac {\dfrac {dn'}{dt}}{\dfrac {dn}{dt}}}\propto \left({\frac {w}{w'}}\right)^{5}\left({\frac {a}{a'}}\right)^{8}.$