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hypothèse de sir g. h. darwin

Les fonctions sphériques $\mathrm {X}$ qu’introduit alors le développement trigonométrique du troisième membre de la formule (9) sont les suivantes^[1] :

${\begin{aligned}{\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}&={\frac {\sin ^{2}\delta }{2}}\,\cos 2\chi _{0},\\[0.5ex]xy&={\frac {\sin ^{2}\delta }{2}}\,\sin 2\chi _{0},\\[0.5ex]xz&=\sin \delta \,\cos \delta \,\cos \chi _{0},\\[0.5ex]yz&=\sin \delta \,\cos \delta \,\sin \chi _{0},\\[0.5ex]{\frac {x^{2}+y^{2}-2z^{2}}{2{\sqrt {3}}}}&={\frac {1-3\cos ^{2}\delta }{2{\sqrt {3}}}}\cdot \end{aligned}}$

Faisons maintenant quelques remarques sur les trois entiers $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma .$ Tout d’abord on aura

$\alpha ={}$0, 1 ou 2,

suivant que le terme considéré correspond à une marée à longue période, à une marée diurne, ou à une marée semi-diurne ; car, dans l’expression (15), $\beta l$ et $\gamma \varpi$ ne varient que très lentement et peuvent être regardés comme sensiblement constants. Ensuite, si l’inclinaison est nulle, on aura

$\alpha +\beta +\gamma =0,$

car alors les deux plans E et O (fig. 30) coïncident, le point N devient indéterminé, et les seuls angles qui interviennent sont $\chi -\varpi$ et $\chi -l$. Par suite, dans les termes indépendants de l’inclinaison, on aura

$\alpha +\beta +\gamma =0.$

Dans les termes qui contiennent l’inclinaison à la puissance $\lambda$, on verrait facilement que

$|\alpha +\beta +\gamma |$

1. On reconnaît aisément que l’intégrale
   $\iint \mathrm {X} ^{2}\,d\sigma$

   étendue à toute la sphère a, comme nous le désirions, la même valeur $\mathrm {K}$ pour toutes ces fonctions sphériques $\mathrm {X}$.