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hypothèse de m. see
composantes
![{\displaystyle \omega ^{2}x,\qquad \omega ^{2}y,\qquad 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0d03424ef0f2923ee100360d7fd4cad9d1239a)
La force centrifuge composée a pour composantes
![{\displaystyle 2\omega {\frac {dy}{dt}},\qquad -2\omega {\frac {dx}{dt}},\qquad 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3987cfc8e36484f2ed2506c811c205c8e9e89af)
Les équations de mouvement de la planète P relativement aux axes
mobiles sont donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dx}}+\omega ^{2}x+2\omega {\frac {dy}{dt}},\\[0.75ex]{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dy}}+\omega ^{2}y-2\omega {\frac {dx}{dt}},\\[0.75ex]{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dz}}+{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dz}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e914cd1b9a4965740254da7642f6b82bee6e94)
Si nous multiplions respectivement ces trois équations par
![{\displaystyle {\begin{aligned}dx&={\frac {dx}{dt}}dt,&dy&={\frac {dy}{dt}}dt,&dz&={\frac {dz}{dt}}dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ddbbecc8264b673413051a776d7e32fc8b8b02)
et que nous ajoutions les résultats, nous obtenons une combinaison
immédiatement intégrable qui nous conduit à l’intégrale suivante
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\!\!+\!\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\!\!+\!\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right]={\frac {\mathrm {M} _{1}}{\rho _{1}}}\!\!+\!{\frac {\mathrm {M} _{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}\!+\!y^{2}\right)-\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dbff0ca26f1865ddb1ffba42f201a6c78acde4)
connue sous le nom d’intégrale de Jacobi.
Le premier membre de cette dernière équation étant positif, les
coordonnées
du point P satisferont à l’inégalité
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {\mathrm {M} _{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\mathrm {C} >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffaafcfae059b995df36514795b1be28166fd107)
Par suite la projection
du point P sur le plan des
sera
intérieure à la courbe
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {\mathrm {M} _{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11c9662d5b8e74dce61328e4998a7d08b6c10e2)
dans cette équation,
et
désignent les distances de cette projection
du point P aux points S et J. Pour les très grandes valeurs de la