Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/146

120

hypothèses cosmogoniques

d’augmenter $n.$ La vitesse angulaire de la planète s’accélère^[1] en même temps que sa distance moyenne au Soleil diminue.

Étudions, à présent, l’effet de la résistance de milieu sur l’excentricité de l’orbite.

Tout d'abord la constante des aires $\mathrm {C}$ aura sa dérivée ${\frac {d\mathrm {C} }{dt}}$ égale au moment, par rapport au centre d’attraction, de la force perturbatrice $\mathrm {R} .$ Or, cette force $\mathrm {R}$ opposée à la vitesse a pour composantes :

suivant le rayon vecteur

$-\mathrm {R} {\frac {\dfrac {dr}{dt}}{\mathrm {V} }},$

perpendiculairement au rayon vecteur

$-\mathrm {R} {\frac {r{\dfrac {dv}{dt}}}{\mathrm {V} }}\,;$

et le moment de la force $\mathrm {R}$ par rapport au Soleil est

$-\mathrm {R} {\frac {r^{2}{\dfrac {dv}{dt}}}{\mathrm {V} }}=-\mathrm {R} {\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {V} }}\cdot$

On a donc

(5)

${\frac {d\mathrm {C} }{dt}}=-{\frac {\mathrm {RC} }{\mathrm {V} }}$

Rappelons que

${\begin{aligned}\mathrm {C} &={\sqrt {\mathrm {M} p}}\\[0.75ex]&=\mathrm {M} ^{\frac {1}{2}}a^{\frac {1}{2}}(1-e^{2})^{\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Prenant les dérivées logarithmiques des deux membres extrêmes, il vient

${\frac {d\mathrm {C} }{\mathrm {C} }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {da}{a}}-{\frac {2e\,de}{1-e^{2}}}\right)\cdot$

1. La formule (3) montre même que $na$ augmente quand $a$ diminue. D’où cette conséquence curieuse : une résistance de milieu a pour effet d’augmenter la vitesse linéaire de la planète.