118
hypothèses cosmogoniques
désignant le paramètre de l’orbite elliptique dont
est le grand axe.
Nous avons aussi l’équation des aires
![{\displaystyle r^{2}{\frac {dv}{dt}}=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8a9d68ef2a3bda8a348aa573abc7c7b2679ccc)
la constante des aires
ayant pour valeur
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\sqrt {\mathrm {M} p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44d87b44ea2853d8b2a2a70abf8e7f3ec314073)
où
représente la masse du Soleil. (Nous négligeons la masse de la
planète vis-à-vis de celle du Soleil.) Le moyen mouvement
est lié
au demi-grand axe
par la troisième loi de Képler
(3)
|
|
|
Enfin l’équation des forces vives donne
![{\displaystyle \mathrm {T} -{\frac {\mathrm {M} }{r}}=-{\frac {\mathrm {M} }{2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73473e9dae770d289ddcd9af805d0e08b797671)
étant la demi-force vive.
Différentiant l’équation (1) par rapport au temps, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dr}{dt}}&={\frac {pe\sin v}{(1+e\cos v)^{2}}}{\frac {dv}{dt}}\\[0.75ex]&={\frac {pe\sin v}{(1+e\cos v)^{2}}}{\frac {\mathrm {C} }{r^{2}}}\\[0.75ex]&={\frac {pe\sin v}{(1+e\cos v)^{2}}}{\frac {\mathrm {C} }{p^{2}}}(1+e\cos v)^{2}\\[0.75ex]&={\frac {\mathrm {C} }{p}}\,e\sin v.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcef94d14c6655018d0f7e2a3c81523260463f32)
Or
est la composante de la vitesse suivant le rayon vecteur. La composante perpendiculaire à ce rayon a pour valeur
![{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {dv}{dt}}&={\frac {\mathrm {C} }{r}}\\[0.5ex]&={\frac {\mathrm {C} }{p}}(1+e\cos v).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba77aa9452e81759b9b2d0318a7667ac8cebb0c1)
Des deux composantes de la vitesse
nous déduisons, pour le carré
de cette vitesse,
![{\displaystyle \mathrm {V} ^{2}={\frac {\mathrm {C} ^{2}}{p^{2}}}(1+2e\cos v+e^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd45e325f318ab29cdc48011627904584e06e539)