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hypothèses cosmogoniques

on aura comme loi finale de distribution des densités

$\rho =f(\mathrm {J} _{1},\mathrm {J} _{2}).$

78.Après ces préliminaires, envisageons un système mécanique (S) à $n$ degrés de liberté. Sa situation à l’époque $t$ est définie par $n$ paramètres

$q_{1},\,q_{2},\,\dots \,\,q_{n}.$

Son énergie potentielle $\mathrm {U}$ est une fonction de ces variables $q_{i}$. Sa force vive $2\mathrm {T}$ est une fonction des $q_{i}$ et de leurs dérivées $q_{i}'$ par rapport au temps. Si nous posons

${\frac {d\mathrm {T} }{dq_{i}'}}=p_{i}$

nous aurons, pour définir le mouvement du système, les $2n$ équations différentielles suivantes (équations canoniques de Hamilton) :

(8)

${\begin{aligned}{\frac {dq_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {E} }{dp_{i}}},&{\frac {dp_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {E} }{dq_{i}}},\end{aligned}}$

où $\mathrm {E=T+U}$ représente l’énergie totale du système, fonction des $q_{i}$ et des $p_{i}.$ Posant pour abréger

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {E} }{dp_{i}}}&=\mathrm {Q} _{i},&-{\frac {d\mathrm {E} }{dq_{i}}}&=\mathrm {P} _{i},\end{aligned}}$

les équations (8) s’écrivent

(9)

${\frac {dq_{i}}{\mathrm {Q} _{i}}}={\frac {dp_{i}}{\mathrm {P} _{i}}}=dt.$

Elles sont de la même forme que les équations (6), les $\mathrm {P} _{i}$ et les $\mathrm {Q} _{i}$ étant indépendants de $t.$ De plus, les $\mathrm {P} _{i}$ et les $\mathrm {Q} _{i}$ satisfont évidemment à l’équation

(10)

$\sum {\frac {d\mathrm {Q} _{i}}{dq_{i}}}+\sum {\frac {d\mathrm {P} _{i}}{dp_{i}}}=0,$

de même forme que l’équation d’incompressibilité (7).

Si donc nous considérons

$q_{1},\,q_{2},\,\dots \,q_{n},\,p_{1},\,p_{2},\,\dots \,p_{n}$