Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/105

79

hypothèse de m. faye

par suite

${\frac {d\mathrm {T} }{dt}}-{\frac {d\mathrm {H} }{dt}}=-{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}\cdot$

Or, $\mathrm {T}$ est la constante des forces vives qui, dans le mouvement képlérien, a pour valeur $-{\frac {\mathrm {M} }{2a}},$ $2a$ étant le grand axe de l’orbite ; nous avons donc

${\frac {d}{dt}}\left(-{\frac {\mathrm {M} }{2a}}\right)=-{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}$

ou

(7)

$d\left({\frac {\mathrm {M} }{2a}}\right)={\frac {d\mathrm {M} }{dt}}\,{\frac {dt}{r}}\cdot$

Nous pouvons admettre que, pendant le temps d’une révolution de la planète, ${\frac {d\mathrm {M} }{dt}}$ reste sensiblement constant. Calculons ${\frac {dt}{r}}$ ou plutôt sa valeur moyenne pendant une révolution. En désignant par $n$ et $u$ le moyen mouvement et l’anomalie excentrique de la planète, par $e$ l’excentricité de son orbite, nous avons

$nt=u-e\sin u,$

d’où nous tirons, $n$ et $e$ ne variant que très lentement,

$n\,dt=du(1-e\cos u)\,;$

d’ailleurs, une formule bien connue du mouvement elliptique donne

$r=a(1-e\cos u)\,;$

donc

$n\,{\frac {dt}{r}}={\frac {du}{a}}\cdot$

Or, pendant une révolution, $a$ est une constante, et $du$ a pour valeur moyenne $n\,dt\,;$ donc

moyenne de ${\frac {dt}{r}}={\frac {dt}{a}}\cdot$

La formule (7) donne par conséquent pour la variation séculaire du grand axe

$d\left({\frac {\mathrm {M} }{2a}}\right)={\frac {d\mathrm {M} }{a}}$