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hypothèses cosmogoniques

Introduisons une fonction $\mathrm {H} (r,t)$ définie par l’équation

${\frac {d\mathrm {H} }{dr}}=-{\frac {\mathrm {C} ^{2}}{r^{3}}}+\varphi \,;$

(dans l’hypothèse de Faye, où nous avons

$\varphi =ar+{\frac {b}{r^{2}}}$

la fonction $\mathrm {H}$ serait

$\mathrm {H} ={\frac {\mathrm {C} ^{2}}{2r^{2}}}+{\frac {ar^{2}}{2}}-{\frac {b}{r}}\,;$

mais nous restons ici dans le cas général où $\mathrm {H}$ est une fonction quelconque connue de $r$ et de $t$). L’équation (2) s’écrit alors

(3)

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {H} }{dr}}=0.$

Dans le cas où $\mathrm {H}$ ne dépend pas de $t$, cette équation, multipliée par ${\frac {dr}{dt}}$, et intégrée, donne immédiatement l’équation des forces vives

(4)

${\frac {1}{2}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\mathrm {H} =\mathrm {T} ,$

où $\mathrm {T}$ est une constante.

Dans le cas actuel où $\mathrm {H}$ dépend de $t$, nous posons cette même équation (4) : elle servira de définition à $\mathrm {T}$, qui n’est plus une constante, mais une quantité qui dépend du temps. Calculant la dérivée ${\frac {d\mathrm {T} }{dt}}$ de $\mathrm {T}$ par rapport au temps, on trouve

${\frac {d\mathrm {T} }{dt}}={\frac {d\mathrm {H} }{dt}}+\left({\frac {d\mathrm {H} }{dr}}+{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\right){\frac {dr}{dt}}\cdot$

La parenthèse du second membre étant nulle d’après l’équation (3), ${\frac {d\mathrm {T} }{dt}}$ est égal à la dérivée partielle de $\mathrm {H}$ par rapport au temps :

${\frac {d\mathrm {T} }{dt}}={\frac {d\mathrm {H} }{dt}}\cdot$

Dans le cas où l’attraction ne dépend pas du temps, nous obtenons la distance aphélie $r_{0}$ en écrivant que

${\frac {dr_{0}}{dt}}=0.$