Les Mathématiques, comme on l’a dit, se sont arithmétisées.
Une première question se pose. Cette évolution est-elle terminée ?
Avons-nous atteint enfin la rigueur absolue ? À chaque stade de l’évolution nos pères croyaient aussi l’avoir atteinte. S’ils se trompaient, ne nous trompons-nous pas comme eux ?
Nous croyons dans nos raisonnements ne plus faire appel à l’intuition ; les philosophes nous diront que c’est là une illusion. La logique toute pure ne nous mènerait jamais qu’à des tautologies ; elle ne pourrait créer du nouveau ; ce n’est pas d’elle toute seule qu’aucune science peut sortir.
Ces philosophes ont raison dans un sens ; pour faire l’Arithmétique, comme pour faire la Géométrie, ou pour faire une science quelconque, il faut autre chose que la logique pure. Cette autre chose, nous n’avons pour la désigner d’autre mot que celui d’intuition. Mais combien d’idées différentes se cachent sous ces mêmes mots ?
Comparons ces quatre axiomes :
1o Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles ;
