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de sorte que nos formules deviennent :

(4)

${\begin{aligned}&\sum MV_{x}+\int K_{0}JU_{x}d\tau ={\textrm {const.}}\\&\sum MV_{y}+\int K_{0}JU_{y}d\tau ={\textrm {const.}}\\&\sum MV_{z}+\int K_{0}JU_{z}d\tau ={\textrm {const.}}\end{aligned}}$

Elles expriment que la quantité de mouvement de la matière proprement dite plus celle de notre fluide fictif est représentée par un vecteur constant.

Dans la Mécanique ordinaire, de la constance de la quantité de mouvement on conclut que le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme.

Mais ici nous n’avons pas le droit de conclure que le centre de gravité du système formé par la matière et notre fluide fictif a un mouvement rectiligne et uniforme ; et cela parce que ce fluide n’est pas indestructible.

La position du centre de gravité du fluide fictif dépend de l’intégrale

$\int xJ\ d\tau$

étendue à tout l’espace. La dérivée de cette intégrale est :

${\begin{aligned}\int x{\frac {dJ}{dt}}d\tau =-\int xd\tau &\left({\frac {dJU_{x}}{dx}}+{\frac {dJU_{y}}{dy}}+{\frac {dJU_{z}}{dz}}\right)\\&-{\frac {4\pi }{K_{0}}}\int \rho xd\tau \sum f\xi \end{aligned}}$

Or la première intégrale du second membre devient par l’intégration par parties :

$\int JU_{x}d\tau$

ou ${\frac {1}{K_{0}}}\left(C-\sum MV_{x}\right)$,

en désignant par $C$ la constante du second membre de la première équation (4).

Représentons alors par $M_{0}$ la masse totale de la matière, par $X_{0},\ Y_{0},\ Z_{0}$ les coordonnées de son centre de gravité, par $M_{1}$ la masse totale du fluide fictif, par $X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}$ son centre de gravité, par $M_{2}$ la masse totale