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où les intégrales doubles sont étendues à tous les éléments $d\omega$ de la surface qui limite le volume considéré, et où $l,m,n$ désignent les cosinus directeurs de la normale à cet élément.

Si l’on observe que

${\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}=0$,

on voit que l’on peut écrire :

(1)

$X_{2}+X_{3}=\int {\frac {d\omega }{8\pi }}\left[l\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right)+2m\alpha \beta +2n\alpha \gamma \right]$.

Transformons maintenant $X_{4}$.

L’intégration par parties donne :

${\begin{aligned}X_{4}=\int {\frac {4\pi d\omega }{K_{0}}}&\left(lf^{2}+mfg+nfh\right)\\&-\int {\frac {4\pi d\tau }{K_{0}}}\left(f{\frac {df}{dx}}+g{\frac {df}{dy}}+h{\frac {df}{dz}}\right).\end{aligned}}$

J’appelle $X_{4}^{'}$ et $X_{4}^{''}$ les deux intégrales du second membre de sorte que

$X_{4}=X_{4}^{'}-X_{4}^{''}$.

Si l’on tient compte des équations :

${\begin{aligned}{\frac {df}{dy}}&={\frac {dg}{dx}}+{\frac {K_{0}}{4\pi }}{\frac {d\gamma }{dt}}\\{\frac {df}{dz}}&={\frac {dh}{dx}}-{\frac {K_{0}}{4\pi }}{\frac {d\beta }{dt}}\end{aligned}}$

nous pouvons écrire :

$X_{4}^{''}=Y+Z$,

où

${\begin{aligned}Y&=\int {\frac {4\pi d\tau }{K_{0}}}\left(f{\frac {df}{dx}}+g{\frac {dg}{dx}}+h{\frac {dh}{dx}}\right)\\Z&=\int d\tau \left(g{\frac {d\gamma }{dt}}-h{\frac {d\beta }{dt}}\right)\end{aligned}}$

On trouve ensuite :

${\begin{aligned}&Y=\int {\frac {2\pi ld\omega }{K_{0}}}\left(f^{2}+g^{2}+h^{2}\right)\\&X_{1}-Z={\frac {d}{dt}}\int d\tau (\beta h-\gamma g).\end{aligned}}$