où les intégrales doubles sont étendues à tous les éléments
de la surface qui limite le volume considéré, et où
désignent les cosinus directeurs de la normale à cet élément.
Si l’on observe que
![{\displaystyle {\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd4572511e3e6eca02d1229aca5eea189ff0384)
,
on voit que l’on peut écrire :
(1)
|
.
|
|
Transformons maintenant
.
L’intégration par parties donne :
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{4}=\int {\frac {4\pi d\omega }{K_{0}}}&\left(lf^{2}+mfg+nfh\right)\\&-\int {\frac {4\pi d\tau }{K_{0}}}\left(f{\frac {df}{dx}}+g{\frac {df}{dy}}+h{\frac {df}{dz}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597872fe260908bbfa35c538806cea94667fc407)
J’appelle
et
les deux intégrales du second membre de sorte que
![{\displaystyle X_{4}=X_{4}^{'}-X_{4}^{''}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593b9eb78c860f47a125581ee4c590a9c60a2143)
.
Si l’on tient compte des équations :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{dy}}&={\frac {dg}{dx}}+{\frac {K_{0}}{4\pi }}{\frac {d\gamma }{dt}}\\{\frac {df}{dz}}&={\frac {dh}{dx}}-{\frac {K_{0}}{4\pi }}{\frac {d\beta }{dt}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f72e7a29324c557e39eb943f7de4685373f1244)
nous pouvons écrire :
![{\displaystyle X_{4}^{''}=Y+Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64139574cd590dd4703d06878f455c0eb98ac216)
,
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y&=\int {\frac {4\pi d\tau }{K_{0}}}\left(f{\frac {df}{dx}}+g{\frac {dg}{dx}}+h{\frac {dh}{dx}}\right)\\Z&=\int d\tau \left(g{\frac {d\gamma }{dt}}-h{\frac {d\beta }{dt}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56499555d09be06c97c69fa68211d4e217c25a88)
On trouve ensuite :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Y=\int {\frac {2\pi ld\omega }{K_{0}}}\left(f^{2}+g^{2}+h^{2}\right)\\&X_{1}-Z={\frac {d}{dt}}\int d\tau (\beta h-\gamma g).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574d22539bd9e87fe399752a319eca47aaf30325)