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Cela posé, l’équation des forces vives dans le mouvement réel s’écrit :

(10)

$J-D-{\frac {v'J}{V}}=0$.

Le premier terme représente l’énergie rayonnée, le second la dépense et le troisième le travail du recul.

L’équation des forces vives dans le mouvement apparent s’écrira:

(11)

$J\left(1-{\frac {v}{V}}\right)-D+J\left(-{\frac {v'}{V}}+{\frac {v}{V}}+{\frac {vv'}{V^{2}}}\right)-{\frac {vv'}{V^{2}}}J=0$.

Le premier terme représente l’énergie apparente rayonnée, le second la dépense, le troisième le travail apparent du recul, et le quatrième le travail de la force apparente complémentaire.

La concordance des équations (10) et (11) dissipe l’apparence de contradiction signalée plus haut.

Si donc, dans la théorie de Lorentz, le recul peut avoir lieu sans violer le principe de l’énergie, c’est que l’énergie apparente pour un observateur entraîné avec les axes mobiles n’est pas égale à l’énergie réelle. Supposons donc que notre excitateur subisse un mouvement de recul et que l’observateur soit entraîné dans ce mouvement ($v'=v<0$), l’excitateur paraîtra immobile à cet observateur et il lui semblera qu’il rayonne autant d’énergie qu’au repos. Mais en réalité il en rayonnera moins et c’est ce qui compense le travail du recul.

J’aurais pu supposer les axes mobiles invariablement liés à l’excitateur, c’est-à-dire $v=v'$, mais mon analyse n’aurait pas alors mis en évidence le rôle de la force complémentaire apparente. J’ai dû pour le faire supposer $v'$ beaucoup plus grand que $v$ de telle sorte que je puisse négliger $v^{2}$ sans négliger $vv'$.

J’aurais pu aussi montrer la nécessité de la force complémentaire apparente de la façon suivante :

Le recul réel est ${\tfrac {J}{V}}$ ; dans le mouvement apparent, il faut remplacer $J$ par $J\left(1-{\tfrac {v}{V}}\right)$ de sorte que le recul apparent est

${\frac {J}{V}}-{\frac {Jv}{V^{2}}}$.