Soit
la durée de l’émission ; quelle sera la longueur réellement occupée par la perturbation dans l’espace ?
La tête de la perturbation est partie au temps 0 du point 0 et elle se trouve au temps
au point
; la queue est partie au temps
, non pas du point
, mais du point
, parce que l’excitateur d’où elle émane a marché pendant le temps
avec une vitesse
. Cette queue est donc à l’instant
au point
. La longueur réelle de la perturbation est donc
![{\displaystyle L=Vt-\left|v'T+v(t-T)\right|=(V-v')T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7890d961c25ca27db097d4f3b514fb294c0e2da0)
.
Quelle est maintenant la longueur apparente ? La tête est partie au temps local
du point
; au temps local
son abscisse par rapport aux axes mobiles sera
. La queue est partie au temps
du point
dont l’abscisse par rapport aux axes mobiles est
; le temps local correspondant est
![{\displaystyle T\left(1-{\frac {vv'}{V^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8b7c158aa8b15b00a274a7b3608327d0050988)
.
Au temps local
, elle est au point
,
étant donné par les équations :
![{\displaystyle t'=t-{\frac {vx}{V^{2}}},\quad x=v'T+V(t-T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c83b7f33b7b0e7cabb9f6d6eea03f122f593854)
,
d’où, en négligeant
:
![{\displaystyle x=\left[v'T-V\left(t'-T\right)\right]\left(1+{\frac {v}{V}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e5231f263106b58277df9476bfe96bf5176eb1)
.
L’abscisse de ce point par rapport aux axes mobiles sera
![{\displaystyle x-vt'=\left(v'T-VT\right)\left(1+{\frac {v}{V}}\right)+Vt'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d104594f9bdbb097d03cb03c258e95796fd9bb9)
.
La longueur apparente de la perturbation sera donc
![{\displaystyle L'=Vt'-(x-vt')=(V-v')T\left(1+{\frac {v}{V}}\right)=L\left(1+{\frac {v}{V}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fcde8b7e1ae1de117511049ee6ae6f669604c2)
.
L’énergie réelle totale (par unité de section) est donc
![{\displaystyle \left({\frac {\gamma ^{2}}{8\pi }}+2\pi V^{2}g^{2}\right)L=4\pi V^{2}g^{2}L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cea4a9d0984cb4412278c8c26b0ef5f9ca5a3f0)
,