Cherchons la résultante de toutes les forces pondéromotrices appliquées à tous les électrons situés à l’intérieur d’un certain volume. Cette résultante ou plutôt sa projection sur l’axe des
est représentée par l’intégrale :
![{\displaystyle X=\int \rho \ d\tau \left[\eta \gamma -\zeta \beta +{\frac {4\pi f}{K_{0}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f990e1a1f0f4fc8b66021618235e7e99d668fe)
où l’intégration est étendue à tous les éléments
du volume considéré, et où
représentent les composantes de la vitesse de l’électron.
À cause des équations :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \eta =-{\frac {dg}{dt}}+{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {d\alpha }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dx}}\right);\\&\rho \zeta =-{\frac {dh}{dt}}+{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {d\beta }{dx}}-{\frac {d\alpha }{dy}}\right);\ \rho =\sum {\frac {df}{dx}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba404ea9a3b8b1df4456bac735c46a7c889b624)
et en ajoutant et retranchant le terme :
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{4\pi }}{\frac {d\alpha }{dx'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d276d57168eec4c27b39001c2f0ba948d740ca0)
je puis écrire :
![{\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ed940a59a7c964f6804281c03a92868ae466da)
où :
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=\int \ d\tau \left(\beta {\frac {dh}{dt}}-\gamma {\frac {dg}{dt}}\right)\\X_{2}&=\int \ {\frac {d\tau }{4\pi }}\left(\alpha {\frac {d\alpha }{dx}}+\beta {\frac {d\alpha }{dy}}+\gamma {\frac {d\alpha }{dz}}\right)\\X_{3}&=\int \ {\frac {-d\tau }{4\pi }}\left(\alpha {\frac {d\alpha }{dx}}+\beta {\frac {d\beta }{dx}}+\gamma {\frac {d\gamma }{dx}}\right)\\X_{4}&={\frac {4\pi }{K_{0}}}\int f\ d\tau \sum {\frac {df}{dx}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3650d916c48e3df1ec4628e005a6239c011d93ee)
L’intégration par parties donne :
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}&=\int {\frac {d\omega }{4\pi }}\alpha \left(l\alpha +m\beta +n\gamma \right)-\int {\frac {d\tau }{4\pi }}\alpha \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)\\X_{3}&=-\int {\frac {d\omega }{8\pi }}l\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ad004b2764980ee98baf0e21c3839ac1440998)