hypothèses de Lobatchevsky, on ne sera jamais conduit à une contradiction. En effet, si deux théorèmes de Lobatchevsky étaient contradictoires, il en serait de même des traductions de ces deux théorèmes, faites à l’aide de notre dictionnaire, mais ces traductions sont des théorèmes de géométrie ordinaire et personne ne doute que la géométrie ordinaire ne soit exempte de contradiction. D’où nous vient cette certitude et est-elle justifiée ? C’est là une question que je ne saurais traiter ici, car elle exigerait quelques développements. Il ne reste donc plus rien de l’objection que j’ai formulée plus haut.
Ce n’est pas tout. La géométrie de Lobatchevsky, susceptible d’une interprétation concrète, cesse d’être un vain exercice de logique et peut recevoir des applications ; je n’ai pas le temps de parler ici de ces applications ni du parti que M. Klein et moi en avons tiré pour l’intégration des équations linéaires.
Cette interprétation n’est d’ailleurs pas unique, et l’on pourrait établir plusieurs dictionnaires analogues à celui qui précède et qui tous permettraient par une simple « traduction » de transformer les théorèmes de Lobatchevsky en théorèmes de géométrie ordinaire.
Les axiomes implicites. — Les axiomes explicitement énoncés dans les traités sont-ils les seuls fondements de la géométrie ? On peut être assuré du contraire en voyant qu’après les avoir successive-
