d’Aristophane, carrant le cercle avec la règle et le compas ? Comme la construction plane des aires sur une droite déterminée résout géométriquement nos équations du second degré, ainsi la multiplication du cube résout nos équations cubiques, et le mérite d’Hippocrate est d’avoir ramené le problème de la duplication du cube à l’invention de deux moyennes proportionnelles entre le côté et le double de ce côté. Ces deux moyennes, Archytas, Eudoxe et Ménechme les détermineront, peut-être mécaniquement, à l’aide de courbes savantes, et Ménechme, partant de là, imaginera de couper par une section perpendiculaire à une génératrice un cône aigu, droit ou obtus, pour obtenir l’ellipse, la parabole et l’hyperbole. Avec de tels problèmes, on était en plein dans la stéréométrie, ou science des solides, qu’Euclide exposera dans ses Livres XI et XIII. Or, cette science avait commencé par les études d’Anaxagore et de Démocrite sur la perspective, excitées par les inventions d’Agatharque en décoration scénique ; Démocrite avait peut-être trouvé le premier les volumes de la pyramide et du cône à l’aide de sections parallèles à la base ; en tout cas, nous savons par le scholiaste d’Euclide que, des cinq solides (réguliers) inscriptibles dans une sphère, les Pythagoriciens connaissaient seulement la pyramide, le cube et le dodécaèdre ; c’est Théétète, l’élève de Théodore, qui découvrit l’octaèdre et l’icosaèdre. D’autre part, Suidas nous apprend qu’à ce même Théétète est due « la construction » de ces cinq corps « dits Platoniciens », et les historiens les plus récents sont fondés à le considérer, non seulement avec Tannery comme l’auteur de la substance du Livre XIII d’Euclide, mais comme le véritable créateur de la stéréométrie.
Ainsi, à l’époque où Platon compose la République, l’étude scientifique des irrationnelles est, depuis un certain temps, en train de renouveler totalement l’arithmétique et la géométrie, et commence seulement, c’est lui qui nous le dit, de créer une science nouvelle : la stéréométrie. Hippocrate et Hippias ont donné l’élan à l’invention et à la construction des courbes, et de cette recherche naît déjà, avec Archytas, la mécanique mathématique. C’est peut-être au même Archytas qu’est due, en astronomie, la découverte ou du moins l’explication scientifique du mouvement propre des planètes, de
