Dans l'enfance des sciences mathématiques, l'arithmétique s'appuyait sur des figures géométriques ; et nous voyons, d'après le Scholiaste et le passage célèbre du Théétète, que μῆκος signifie simplement un nombre qui n'est considéré ni comme carré ni comme cube, c'est-à-dire un nombre qui n'a qu'une seule dimension, la longueur. On dit encore aujourd'hui les dimensions d'un nombre, et un nombre linéaire pour un nombre racine ; cette expression traduit parfaitement τὸν τοῦ μήκους ἀριθμόν. Suivant le Scholiaste lui-même, un nombre considéré comme μῆκος et πλάτος nous donne le carré, une surface, un plan, c'est-à-dire un nombre qui a deux dimensions, longueur et largeur ; enfin μῆκος, πλάτος et βάθος donnent le cube, le solide, ou un nombre qui a les trois dimensions, longueur, largeur et profondeur.
Cela prouve que 9 est considéré sous deux points de vue, comme carré de 3, ἐπίπεδον, et comme nombre linéaire, qui a une seule dimension, la longueur, μῆκος, et que Platon va élever successivement au carré et au cube, κατὰ δὲ δύναμιν καὶ τὴν τρίτην αὔξην, négligeant ici les expressions géométriques πλάτος et βάθος, pour les expressions arithmétiques δύναμιν et αὔξην, ce qui donne toujours le même résultat, et ce qui est identique au fond, d'après la corrélation in-
