plaisir le triple du triple, c'est-à-dire 9 ; ici pas la inoindre difficulté.
Ἐπίπεδον ἄρ', ἔφην, ὡς ἔοικε, τὸ εἰδωλον κατὰ τὸν τοῦ μήκους ἀριθμὸν ἡδονῆς τυραννικῆς ἂν εἴη : D'après ce nombre linéaire, le fantôme du plaisir du tyran serait donc un carré. En effet, ἐπίπεδον ἄρ' est évidemment ici une conclusion de κατὰ τὸν τοῦ μήκους ἀριθμόν, qui résume ce qui précède, et par conséquent représente le nombre 9. La forme corrélative des deux phrases qui commencent, l'une par τριπλασίου ἄρα…, l'autre par ἐπίπεδον ἄρ'…, indique assez leur intime liaison. Ἐπίπεδον ἄρ'… qui se trouve en tête de la seconde, se rapporte et ne peut se rapporter qu'à la précédente dont il est la conclusion.
Platon donne déjà une idée convenable de la distance qui sépare le bonheur du roi de celui du tyran, en faisant observer que 9 est un carré. Que sera-ce donc en élevant ce nombre lui-même au carré, puis au cube, κατὰ δὲ δύναμιν καὶ τὴν τρίτην αὔξην ! Là est la transition de l'arithmétique à la géométrie. Platon, il est vrai, ne dit pas qu'il va construire une surface, puis un solide ; mais il s'élève à deux nombres qui sont, l'un, l'expression d'un carré, d'un plan, d'une surface ; l'autre, l'expression d'un solide, d'un cube, et qui représentent d'une manière plus frappante les termes qu'il compare.
