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ET SES APPLICATIONS À L’ASTRONOMIE.

10.Ainsi donc, il y a pour le système S des unités déterminées et un temps local. Il en est de même pour le système σ. Mais comment pourrons-nous comparer les longueurs et les temps de S et de σ ? Il ne peut être question de transport d’appareils de mesure d’un système à l’autre, ce qui, sans parler des impossibilités, pourrait donner lieu à des altérations dont on ne peut rien dire a priori.

Cette comparaison va être faite en invoquant le principe d’Einstein de la vitesse constante $c$ de la lumière, et en tenant compte de la réciprocité des deux systèmes.

Soient $\mathrm {O} x$ la ligne des abscisses dans le système σ, et $\Omega \mathrm {X}$ la ligne des abscisses dans S ; ces droites glissent l’une sur l’autre. L’origine $\Omega$ des coordonnées dans S a une vitesse $v$ sur $\mathrm {O} x$. Un point quelconque M a respectivement les coordonnées $x$ et $\mathrm {X}$ par rapport aux deux systèmes ; $t$ et $\mathrm {T}$ sont respectivement les temps correspondant à ceux-ci. On veut chercher les expressions de $x$ et $t$ en fonction de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {T}$, en supposant, comme il est permis par un choix convenable des origines, que $x$ et $t$ s’annulent pour $\mathrm {X=T=0}$.

Si le couple ${(x,t)}$ correspond à une onde lumineuse, sa vitesse ${\frac {dx}{dt}}$ étant égale à $c$, on aura

$dx^{2}-c^{2}dt^{2}=0$ ;

mais, d’après l’hypothèse d’Einstein, cette équation devra entraîner

$d\mathrm {X} ^{2}-c^{2}d\mathrm {T} ^{2}=0$.