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l’énergie
Dans le cas (I) (les
perpendiculaires aux
) chaque vitesse résultante
prend l’expression (III, 8) :
![{\displaystyle v^{\,\prime \prime \,2}=v^{2}+v^{\,\prime \,2}-{\frac {v^{2}v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90dd18cb0aede0e5fb68bfc0d26c4378a498de2)
.
L’équation fonctionnelle (I) devient donc :
![{\displaystyle f(v^{\,\prime \,2})\varphi (v^{2})\equiv f\left(v^{2}+v^{\,\prime \,2}-{\frac {v^{2}v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}\right)-f(v^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a6be807d2680e8143ad8ae6a984fb507816c89)
qui va reprendre une forme déjà discutée si nous posons, comme nous le pouvons :
![{\displaystyle f(v^{2})=\mathrm {F} (\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296fb116444aeb2f46c677c371b5f8a5401f3cb5)
;
xxx ![{\displaystyle \varphi (v^{2})=\Phi (\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5952e3d93d0a3dc887c44564581845854cbb8429)
avec
![{\displaystyle \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=e^{\xi }\quad {\text{et}}\quad \left(1-{\frac {v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}\right)=e^{\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2856d68606cd0c20344cc1d7960fc2610187ef)
d’où résulte pour
, c’est-à-dire pour
, la valeur
en sorte que notre équation fonctionnelle (I) prend une forme
![{\displaystyle \mathrm {F} (\eta )\Phi (\xi )\equiv \mathrm {F} (\xi +\eta )-\mathrm {F} (\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48536b2b3745fa0244e101e24eb415614e0f330b)
que nous venons de discuter et qui impose
|
.
|
D’autre part notre équation fonctionnelle (II) s’écrit, après division par
(ce qui réserve le cas de
nul) :
![{\displaystyle 2\left[\left(1-{\frac {v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }-1\right]\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10eafe7a69a80344c2ca2b7bad00183b3c9eb9f)
d’où :
![{\displaystyle 2\left(1-{\frac {v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }\equiv \left(1-{\frac {v_{1}^{\,\prime \prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }+\left(1-{\frac {v_{2}^{\,\prime \prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985cd03d5cbb9b5c678c2ef2f58a6173d5220a1b)