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l’énergie

Dans le cas (I) (les ${\vec {v^{\prime }}}$ perpendiculaires aux ${\vec {v}}$) chaque vitesse résultante ${\vec {v^{\,\prime \prime }}}$ prend l’expression (III, 8) :

$v^{\,\prime \prime \,2}=v^{2}+v^{\,\prime \,2}-{\frac {v^{2}v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}$.

L’équation fonctionnelle (I) devient donc :

$f(v^{\,\prime \,2})\varphi (v^{2})\equiv f\left(v^{2}+v^{\,\prime \,2}-{\frac {v^{2}v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}\right)-f(v^{2})$

qui va reprendre une forme déjà discutée si nous posons, comme nous le pouvons :

$f(v^{2})=\mathrm {F} (\xi )$ ;xxx $\varphi (v^{2})=\Phi (\xi )$

avec

$\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=e^{\xi }\quad {\text{et}}\quad \left(1-{\frac {v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}\right)=e^{\eta }$

d’où résulte pour $\left(1-{\frac {v^{\,\prime \prime \,2}}{c^{2}}}\right)$, c’est-à-dire pour $\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\,\left(1-{\frac {v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}\right)$, la valeur $e^{\,\xi +\eta }$ en sorte que notre équation fonctionnelle (I) prend une forme

$\mathrm {F} (\eta )\Phi (\xi )\equiv \mathrm {F} (\xi +\eta )-\mathrm {F} (\xi )$

que nous venons de discuter et qui impose

$\mathrm {F} (\xi )\equiv {\frac {\mathrm {G_{0}} }{\alpha }}\left(e^{\alpha \xi }-1\right)\equiv {\frac {\mathrm {G_{0}} }{\alpha }}\left[{\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}^{\alpha }-1\right]=f(v^{2})$

$\Phi (\xi )\equiv e^{\alpha \xi }={\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}^{\alpha }=\varphi (v^{2})$.

D’autre part notre équation fonctionnelle (II) s’écrit, après division par ${\frac {\mathrm {G_{0}} }{\alpha }}$ (ce qui réserve le cas de $\alpha$ nul) :

$2\left[\left(1-{\frac {v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }-1\right]\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }$

$\equiv \left(1-{\frac {v_{1}^{\,\prime \prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }-1+\left[\left(1-{\frac {v_{2}^{\,\prime \prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }-1\right]-2\left[\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }-1\right]$
$\equiv \left(1-{\frac {v_{1}^{\,\prime \prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }+\left(1-{\frac {v^{\,\prime \prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }-2\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }$

d’où :

$2\left(1-{\frac {v^{\,\prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }\equiv \left(1-{\frac {v_{1}^{\,\prime \prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }+\left(1-{\frac {v_{2}^{\,\prime \prime \,2}}{c^{2}}}\right)^{\alpha }$