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l’énergie
d’où résulte pour
, qui est égal à
:
![{\displaystyle \varphi (\xi )\equiv e^{\alpha \xi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c41b62cfad6c746aec6059e3929bdb8f9f5d22)
.
Introduisons dans (II) ces expressions de
et
; nous obtenons,
après division par
(ce qui réserve le cas de
nul) :
![{\displaystyle 2\left(e^{\alpha v^{\,\prime \,2}}-1\right)e^{\alpha v^{2}}\equiv \left(e^{\alpha v_{1}^{\,\prime \,2}}-1\right)+\left(e^{\alpha v_{2}^{\,\prime \prime \,2}}-1\right)-2\left(e^{\alpha v^{2}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8195f6ff89b6d00736e4df30d53082cd8fafeaa)
ou, après simplifications évidentes
![{\displaystyle 2e^{\alpha \left(v^{2}+v^{\,\prime \,2}\right)}\equiv e^{\alpha v_{1}^{\,\prime \prime \,2}}+e^{\alpha v_{2}^{\,\prime \prime \,2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35bb477dae8653f0f5da831bc347062f2db92ce1)
.
Or, en première approximation, les
étant parallèles aux
![{\displaystyle v_{1}^{\,\prime \prime }=v+v^{\prime }\quad ;\quad v_{2}^{\,\prime \prime }=v-v^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd6cad92f1dd79b764a0be699c33f545d37440d)
ce qui donne pour l’équation précédente :
![{\displaystyle 2=e^{2\alpha vv^{\prime }}+e^{-2\alpha vv^{\prime }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa55422f4e1da16fdcd06ddcaa12210eeaa4bec1)
vérifiée seulement pour
égal à 1, donc précisément pour
nul.
Mais alors
est égal à la constante
et
à
en même temps
que
devient égal à 1 : nous retombons sur le cas singulier réservé.
Cette solution seule possible convient en effet, les équations de
Langevin, (y remplacer les
en fonction des
et
) étant alors vérifiées.
Ainsi, pour de faibles vitesses,
est égal à 1, ce qui signifie que
la calorie en mouvement coûte le même prix que la calorie en
repos. D’autre part,
est égal à
(qu’on peut écrire
),
ce qui signifie que l’énergie cinétique est pour un objet donné proportionnelle au carré de la vitesse. Nous retrouvons la loi d’abord
obtenue (V, 7) en supposant connue la loi de la chute des corps,
puis établie (V, 31) en combinant déjà, de façon différente, le
Principe de relativité avec la règle de composition des « faibles »
vitesses.
49. Expression de l’énergie cinétique valable pour toute vitesse réalisable. — Combinons maintenant, en seconde approximation
le Principe d’Équivalence et la formule générale de composition des vitesses.
Nous avons à voir ce que deviennent alors les équations fonctionnelles
de Langevin.