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l’énergie
où
est la vitesse résultant de la composition des vitesses parallèles
et
.
Ces équations fonctionnelles (I) et (II) obtenues par application
du Principe d’Équivalence vont déterminer les fonctions
et
si
nous tenons compte de la formule de composition des vitesses.
En première approximation nous utiliserons la formule établie (I, 23)
dans l’hypothèse où la notion de simultanéité est valable ;
en seconde approximation (grandes vitesses) nous utiliserons la
formule générale d’Einstein (III, 8).
48. Valeur de l’énergie cinétique pour de faibles vitesses. — En
première approximation, nous avons, pour
résultante de vitesses
rectangulaires
et
![{\displaystyle v^{\,\prime \prime \,2}=v^{2}+v^{\,\prime \,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f76bb37465b1c56fa3ae2562535b3fbed455758)
.
L’identité (I) devient donc :
![{\displaystyle f(v^{\,\prime \,2})\varphi (v^{2})\equiv f(v^{2}+v^{\,\prime \,2})-f(v^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6199f9287ee9b298079895600facbdf1e67e13b)
c’est-à-dire, si nous écrivons
au lieu de
et
au lieu de
![{\displaystyle f(\eta )\varphi (\xi )\equiv f(\xi +\eta )-f(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91036d24f0a3efbdd00f12d2fbf5f34f6e9dac45)
.
Dérivons par rapport à
, nous obtenons :
![{\displaystyle f^{\,\prime }(\eta )\varphi (\xi )\equiv f^{\,\prime }(\xi +\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d4f247acb2859f4b7db3a0d6313a4e2f2f2731)
qui impose en particulier :
![{\displaystyle f^{\,\prime }(0)\varphi (\xi )\equiv f^{\,\prime }(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811a272738172e86886323cd9c3bba4d847fb552)
d’où résulte que l’équation précédente peut s’écrire :
![{\displaystyle f^{\,\prime }(\eta )f^{\,\prime }(\xi )\equiv f^{\,\prime }(\xi +\eta )f^{\,\prime }(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653ef4f60141e023b8edd8dc70a9435b98129d14)
.
Hors le cas singulier, provisoirement réservé, où
serait une
constante
auquel cas
serait égal à
et
identiquement
égal à 1, cette équation (où l’on reconnaît l’équation qui définit
la fonction exponentielle) n’est vérifiée que par la fonction
(g0arbitraire). |
|
( arbitraire).
|
Intégrant, et tenant compte de ce que l’énergie cinétique
est nulle pour
nul, on trouve
![{\displaystyle f(\xi )\equiv {\frac {g_{0}}{\alpha }}\,\left(e^{\alpha \xi }-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd774260ce8bb60e78f8668c07373425b9e1a36)