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l’énergie

nous obtenir en y immobilisant ce solide, rien d’autre ne se produisant ?

Soit $\mathrm {G}$ le centre d’inertie (coordonnées $\xi$, $\eta$, $\zeta$) qui se meut d’un mouvement rectiligne uniforme (V, 24), et soient $\mathrm {G} {x_{1}}{y_{1}}{z_{1}}$ les axes menés par $\mathrm {G}$ parallèlement aux axes $\mathrm {O} xyz$ liés au référentiel. Pour tout point du solide, nous avons

$x=x_{1}+\xi \quad ;\quad y=y_{1}+\eta \quad ;\quad z=z_{1}+\zeta .$

L’énergie cinétique $\mathrm {E}$, égale à ${\frac {1}{2}}\sum mv^{2}$ ou à

${\frac {1}{2}}\sum m({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2})$

peut donc s’écrire ($x$ égal à $x_{1}+\xi$, $y$ à $y_{1}+\eta$, $z$ à $z_{1}+\zeta$) :

$\scriptstyle {{\frac {1}{2}}\sum ({x'}_{1}^{2}+{y'}_{1}^{2}+{z'}_{1}^{2})+{\frac {1}{2}}({\xi '}^{2}+{\eta '}^{2}+{\zeta '}^{2})\sum m+(\xi '\sum mx'_{1}+\eta '\sum my'_{1}+\zeta '\sum mz'_{1}).}$

Or, $({x'}_{1}^{2}+{y'}_{1}^{2}+{z'}_{1}^{2})$ est le carré $v_{1}^{2}$ de la vitesse de $m$ par rapport aux axes entraînés par $\mathrm {G}$ ; $({\xi '}^{2}+{\eta '}^{2}+{\zeta '}^{2})$ est le carré de la vitesse $\varphi$ de $\mathrm {G}$ par rapport au référentiel ; enfin $\textstyle \sum mx'_{1}$ dérivée de $\textstyle \sum x_{1}$ qui est égale (IV, 30) au produit de $\mathrm {M}$ par la coordonnée du centre de gravité selon l’axe $\mathrm {G} x_{1}$ laquelle est forcément nulle, est nulle, et de même sont nulles $\textstyle \sum y'_{1}$ et $\textstyle \sum mz'_{1}$. Il reste donc :

$\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\mathrm {M} \varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\sum mv_{1}^{2}$.

Le premier terme du second membre est l’énergie cinétique d’une masse égale à la masse totale du solide, concentrée en son centre d’inertie. Le second terme est l’énergie cinétique d’un solide libre autour d’un point fixe d’un référentiel de Galilée, c’est-à-dire une énergie de rotation, autour d’un axe passant par ce point (I, 19).

Bref, le travail rendu disponible par immobilisation est la somme d’une énergie de translation et d’une énergie de rotation (voir V, 29). Si par exemple un disque est lancé à plat sur un plan horizontal poli bien lubréfié (V, 1), on pourra immobiliser son axe, ce qui épuisera son énergie de translation, après quoi il tournerait encore indéfiniment autour de cet axe devenu immobile, puis on pourra immobiliser son pourtour, ce qui épuisera son énergie de rotation.

De façon générale, l’énergie de rotation d’un solide tournant