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l’énergie
nous obtenir en y immobilisant ce solide, rien d’autre ne se produisant ?
Soit
le centre d’inertie (coordonnées
,
,
) qui se meut
d’un mouvement rectiligne uniforme (V, 24), et soient
les axes menés par
parallèlement aux axes
liés au référentiel.
Pour tout point du solide, nous avons
![{\displaystyle x=x_{1}+\xi \quad ;\quad y=y_{1}+\eta \quad ;\quad z=z_{1}+\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f75ecba6cd98c27baaae87e797b306f8cb3874)
L’énergie cinétique
, égale à
ou à
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum m({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8c866e5867956e2e14c6501abe6d889fb8160f)
peut donc s’écrire (
égal à
,
à
,
à
) :
![{\displaystyle \scriptstyle {{\frac {1}{2}}\sum ({x'}_{1}^{2}+{y'}_{1}^{2}+{z'}_{1}^{2})+{\frac {1}{2}}({\xi '}^{2}+{\eta '}^{2}+{\zeta '}^{2})\sum m+(\xi '\sum mx'_{1}+\eta '\sum my'_{1}+\zeta '\sum mz'_{1}).}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f001b2218970d8484b0b36e4304a2d5542681a9)
Or,
est le carré
de la vitesse de
par rapport
aux axes entraînés par
;
est le carré de la
vitesse
de
par rapport au référentiel ; enfin
dérivée
de
qui est égale (IV, 30) au produit de
par la coordonnée
du centre de gravité selon l’axe
laquelle est forcément nulle,
est nulle, et de même sont nulles
et
. Il reste donc :
![{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\mathrm {M} \varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\sum mv_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c20902bec515d1e16d03940451498a34e0f6bde)
.
Le premier terme du second membre est l’énergie cinétique
d’une masse égale à la masse totale du solide, concentrée en son
centre d’inertie. Le second terme est l’énergie cinétique d’un solide
libre autour d’un point fixe d’un référentiel de Galilée, c’est-à-dire
une énergie de rotation, autour d’un axe passant par ce point
(I, 19).
Bref, le travail rendu disponible par immobilisation est la somme
d’une énergie de translation et d’une énergie de rotation (voir V, 29). Si par exemple un disque est lancé à plat sur un plan horizontal
poli bien lubréfié (V, 1), on pourra immobiliser son axe,
ce qui épuisera son énergie de translation, après quoi il tournerait
encore indéfiniment autour de cet axe devenu immobile, puis on
pourra immobiliser son pourtour, ce qui épuisera son énergie de
rotation.
De façon générale, l’énergie de rotation d’un solide tournant