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On peut aussi exprimer les deux autres principes (II) (III), en se rapportant à une condition [119] :
![{\displaystyle x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398)
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
(
)
![{\displaystyle x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398)
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
(
)
c’est-à-dire : l’affirmation simultanée d’une condition et de sa négation est une condition absurde
[1191] ;
tandis que : l’affirmation alterne d’une condition et de sa négation est une condition illusoire [1191].
Au principe (III’) on peut aussi donner la forme plus simple [119] :
(
)
121. La simplicité excessive du principe d’identité pourrait faire douter de sa fécondité.
Dans plusieurs livres j’ai lu, en effet, que de l’affirmation tautologique «
» on ne saurait rien tirer ; mais il n’en est pas ainsi.
Tout le monde sait, par exemple, que
![{\displaystyle x,y,z\,\varepsilon \,\mathrm {N} \,:\,\supset \,:\,x-y=z\,.\,=\,.\,z+y=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9dfa797ad432928e6c8d214d0e013654358b3d)
c’est-à-dire que : trois nombres qui vérifient l’égalité «
» vérifient aussi l’égalité «
», et réciproquement.
Par suite, la vérité de chacune de ces égalités peut servir comme preuve de la vérité de l’autre.
Ainsi donc, pour démontrer que
![{\displaystyle a,b\,\varepsilon \,\mathrm {N} \,.\,\supset \,.\,(a+b)-b=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce0adf91466da21292aa647a12804eeed686263)
il suffit de savoir que
![{\displaystyle a,b\,\varepsilon \,\mathrm {N} \,.\,\supset \,.\,(a+b)\,\varepsilon \,\mathrm {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25aa50579cf0c80cb790b62475d824eede1a8241)
et que (sans aucune
)
![{\displaystyle a+b=a+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa41e10a2bde8ec97602b92c74951bba3dd7d50)
c’est-à-dire : un fait arithmétique (qui dépend de la signification des symboles «
» et «
») et un fait logique (qui ne dépend pas de la signification du symbole «
») à savoir une application immédiate du principe d’identité.
De même, pour démontrer que
![{\displaystyle a,b\,\varepsilon \,\mathrm {N} \,.\,a\geq b\,:\,\supset \,:\,(a-b)+b=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ac6bda0ca22fe7dfe9abab5294b787701bf7a8)