Page:Padoa - La Logique déductive dans sa dernière phase de développement.djvu/80

— 74 —

(et celle, déjà remarquée, entre les signes logiques « $\smallsmile$ », « $\smallfrown$ » et les signes arithmétiques « $+$ », « $\times$ »).

Par ex., si « $a,\,b,\,c,\,d\,\varepsilon \,\mathrm {N}$ », alors

$a\leq b\,.\,\supset \,.\,a+c\leq b+c\qquad a\leq b\,.\,\supset \,.\,a\times c\leq b\times c$
                    $a\leq b\,.\,c\leq d\,:\,\supset \,:\,a+c\leq b+d$
                    $a\leq b\,.\,c\leq d\,:\,\supset \,:\,a\times c\leq b\times d$

Et de même, si a, b, c, d sont des $\mathrm {Cls}$ ou sont des conditions, alors (d’après Leibniz):

88.$a\supset b\,.\,\supset \,.\,a\smallsmile c\supset b\smallsmile c$          89.$a\supset b\,.\,\supset \,.\,a\smallfrown c\supset b\smallfrown c$
90.$a\supset b\,.\,c\supset d\,:\,\supset \,:\,a\smallsmile c\supset b\smallsmile d$
91.$a\supset b\,.\,c\supset d\,:\,\supset \,:\,a\smallfrown c\supset b\smallfrown d$

Fig. 14.

ainsi qu’il résulte de la fig. 11 pour les $\mathrm {P}$ 88, 89 et de la fig. 14 pour les $\mathrm {P}$ 90, 91.

Mais cette analogie n’est pas complète ; en effet, elle subsiste pour les deux premières des P

92.$a\supset a\smallsmile b$                    93.$b\supset a\smallsmile b$
94.$a\smallfrown b\supset a$                    95.$a\smallfrown b\supset b$

remarquées par Leibniz et qui sont valables soit pour des $\mathrm {Cls}$ que pour des conditions (et que, dans le premier cas, on voit vérifiées dans les fig. 3 et 4 [p. 38]), tandis que les deux autres n’ont pas leurs analogues dans l’Arithmétique^[1].

99. Si a est une $\mathrm {Cls}$, dire que « $b=\lnot a$ » signifie que « b est la $\mathrm {Cls}$ contraire de a » [70]. Cette dernière relation étant symétrique [81], il s’ensuit que :

1. Des $\mathrm {P}$ 95, 93 on déduit (soit pour des $\mathrm {Cls}$ que pour des conditions), moyennant un syllogisme [$\mathrm {P}$ 47], que
   $a\smallfrown b\supset a\smallsmile b$