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L’application simultanée des $\mathrm {P}$ 78, 79 et des $\mathrm {P}$ 80, 81 donne les P

82.$\,(a\smallsmile b)\smallfrown (c\smallsmile d)=(a\smallfrown c)\smallsmile (b\smallfrown c)\smallsmile (a\smallfrown d)\smallsmile (b\smallfrown d)$

(Lambert)

83.$\,(a\smallfrown b)\smallsmile (c\smallfrown d)=(a\smallsmile c)\smallfrown (b\smallsmile c)\smallfrown (a\smallsmile d)\smallfrown (b\smallsmile d)$

qui apprennent à transformer une intersection de réunions dans une réunion d’intersections et réciproquement ; et dont seulement la première a son analogue pour les signes « $+$ » et « $\times$ ».

96. En échangeant entre eux les deux membres de la $\mathrm {P}$ 3 (et en y écrivant le signe « $\smallfrown$ », qui y est sous-entendu par la $\mathrm {P}$ 2) et de la $\mathrm {P}$ 15 [67], on obtient :

$x\,\varepsilon \,(a\smallfrown b):=:x\,\varepsilon \,a.\smallfrown .x\,\varepsilon \,b$

$x\,\varepsilon \,(a\smallsmile b):=:x\,\varepsilon \,a.\smallsmile .x\,\varepsilon \,b$

On peut dire que le signe « $\varepsilon$ » a la propriété distributive (à gauche) par rapport aux signes « $\smallfrown$ » et « $\smallsmile$ ». Mais il faut remarquer que ces signes changent de rôle d’un membre à l’autre ; car, dans les premiers membres ils désignent respectivement une intersection ou une réunion de $\mathrm {Cls}$, tandis que dans les seconds ils désignent une affirmation simultanée ou alterne de conditions.

D’après la $\mathrm {P}$ 1, les $\mathrm {P}$ 13 et 16 permettent de dire, avec la même remarque, qu’aussi le signe « $\varepsilon$ » a la propriété distributive (à gauche) par rapport aux signes « $\smallfrown$ » et « $\smallsmile$ »).

97. Le signe « $\supset$ » a aussi la propriété distributive (à gauche) par rapport au signe « $\smallfrown$ », qui conserve ou change son rôle selon que a, b, c sont des conditions ou des $\mathrm {Cls}$ :

84.                    $a\supset b\smallfrown c:=:a\supset b.a\supset c$(Mc Coll, a. 1878^[1])

ainsi qu’on peut vérifier, dans le cas des $\mathrm {Cls}$, en se rapportant à la figure 8.

Mais le signe « $\supset$ » n’a pas la propriété distributive à droite par rapport au signe « $\smallfrown$ ». En effet, tandis que (fig. 9):

suppose données partagent le tout dans le plus grand nombre possible de $\mathrm {Cls}$. On obtient tous les cas particuliers, en imaginant qu’une ou plusieurs des huit $\mathrm {Cls}$ obtenues soient égale à rien [37].

1. Leibniz avait énoncé seulement que $a\supset b.a\supset c:\supset :a\supset b\smallfrown c$
   Pour abréger, dans les formules du type « $a\supset (b\smallfrown c)$ » ou « $(b\smallfrown c)\supset a$ » on sous-entend les parenthèses [$\mathrm {P}$ 84, 85] ; et de même pour les formules du type « $a\supset (b\smallsmile c)$ » [$\mathrm {P}$ 86] ou « $(b\smallsmile c)\supset a$ » [$\mathrm {P}$ 87].