Propriété substitutive de l’égalité
84. Mais l’ensemble des trois propriétés que nous venons de considérer [83] ne suffit pas à caractériser l’égalité, parce qu’il y a d’autres relations qui jouissent des mêmes propriétés à la fois ; par ex., les relations géométriques « est superposable à », « est équivalent à », « est semblable à », « est projectif à », etc.
Le Formulaire énonce une propriété de l’égalité qui sert à la distinguer de toute autre relation :
48.
Dans cette P, x et y étant donnés, le second membre est une implication entre des conditions par rapport à a ; c’est-à-dire :
« » signifie que « si x appartient à une [66 6], alors, quelle que soit cette , y lui appartient aussi ».
C’est exact ; mais, à mon avis, cette n’a pas la forme la plus convenable pour des applications immédiates. Je préfère dire que l’égalité est caractérisée par la propriété substitutive, savoir que si « », alors « en remplaçant x par y dans une écriture quelconque, la signification de cette écriture ne change pas ».
Pour exprimer cela, en se passant du langage ordinaire, il suffit de remarquer que dans nos les signes se suivent toujours sur une même ligne ; c’est pourquoi une écriture quelconque, dans laquelle on rencontre la lettre x, aura nécessairement une des formes
selon que x est seulement précédé ou seulement suivi ou en même temps précédé et suivi par d’autres signes quelconques, dont je désigne l’ensemble par u et v.
Mon principe sera donc énoncé dans tous les cas possibles moyennant les P
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85. Voici une conséquence de ces P, qui me semble très importante pour la méthodologie.
Dans presque tous les traités d’Arithmétique on rencontre des telles que :
