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implications [54, 55] et leurs négations [69, 70], c’est-à-dire des symboles « $=\,\varepsilon \,\supset \,\lnot$ » (le troisième dans ses deux rôles et le dernier seulement pour ce qui a rapport aux trois autres).

80. D’après Vailati on dit qu’une relation est réflexible si elle subsiste entre x et x, pour toute valeur possible de x [78].

L’égalité est réflexible ; en effet, quel que soit x :

41. $x\,=\,x$

L’appartenance n’est pas réflexible, parce que le signe « $\varepsilon$ » est toujours placé entre un individu et une $\mathrm {Cls}$ [24].

Nous avons déjà remarqué que l’inclusion est réflexible [31], c’est-à-dire que

42. $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} .\supset .a\supset a$(leibniz)

d’où [66 $\mathrm {P}$ 6 et 12]

43. $x\,\varepsilon \,a.\supset .x\,\varepsilon \,a$

et par suite l’implication est aussi réflexible (par rapport à une condition quelconque [60])^[1].

81. On dit qu’une relation est symétrique si, lorsqu’elle subsiste entre x et y, elle subsiste aussi entre y et x.

L’égalité et sa négation sont symétriques, c’est-à-dire :

00044. $x=y.\supset .y=x$

00045. $x\lnot =y.\supset .y\lnot =x$

L’appartenance n’est pas symétrique.

L’inclusion et l’implication ne sont pas symétriques (sauf lorsqu’il s’agit d’une même $\mathrm {Cls}$ ou d’une même condition [80]). En effet, par ex.,

                              reptile $\supset$ vertébré

c’est-à-dire « tout reptile est un vertébré », mais

                              $\exists$ (vertébré $\lnot$ reptile)

c’est-à-dire [75 et 72 $\mathrm {P}$ 29] « il y a des vertébrés (par ex. des poissons) qui ne sont pas des reptiles » ; et par suite [71]

                              vertébré $\lnot \supset$ reptile

1. De ce qui précède il résulte que la négation de l’égalité ou de l’inclusion ou de l’implication n’est jamais réflexible. Il y aurait des raisons pour dire que la négation de l’appartenance est réflexible, c’est-à-dire que « $x\lnot \varepsilon x$ » ; cependant, avant d’affirmer cela, quel que soit x, il faudrait prendre des précautions et engager une discussion très subtile mais dépourvue d’importance pratique.