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Boole avait decouvert les $\mathrm {P}$ 18, 19 et les avait exprimées par les signes arithmetiques analogues et par le langage ordinaire. Mais l’analogie n’est pas complète ; en effet, tandis que :

$a,b~\varepsilon ~\mathrm {N} ~\therefore \,\supset \,\therefore a\times b=0:=:a=0.\smallsmile .b=0$

$a,b~\varepsilon ~\mathrm {N} ~::\,\supset \,::a+b=1\therefore \,=\,\therefore a=1.b=0:\smallsmile :a=0.b=1$

savoir « le produit de deux $\mathrm {N}$ est zéro, toutes les fois qu’au moins un d’eux est zéro » et « la somme de deux $\mathrm {N}$ est un, toutes les fois qu’un d’eux est un et que l’autre est zéro », les propriétés logiques analogues ne subsistent pas^[1].

Négation, Classes contraires

69. Nous exprimerons le fait qu’une $\mathrm {P}$ est fausse en écrivant devant elle le signe « - », qui est le symbole de la négation et qu’en ce cas on peut lire « il nest pas vrai que »^[2] ; par ex.,

$\lnot (8+3=10)$  et  $\lnot (6\,\varepsilon \,\mathrm {Np} )$

Mais il est préférable de transporter le signe de négation devant le symbole principal de la $\mathrm {P}$ ; en faisant ainsi, on se passe d’une parenthèse et on abrège la lecture qui devient simplement « ne … pas » ;
par ex.,  $8+3\,\lnot =10$  et  $6\,\lnot \,\varepsilon \,\mathrm {Np}$

qu’on lit :  $8+3$ n’est pas égal à 10

et $6$ n’est pas un $\mathrm {Np}$.

Ce que je viens de dire pour les $\mathrm {P}$, peut se répéter pour les conditions [52] ; donc, en général :

21. $x\,\lnot =y\,.\,=\,.\,\lnot (x=y)$

22. $x\,\lnot \varepsilon \,a\,.\,=\,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,a)$

70. Si « $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ », nous représenterons par « $\lnot a$ » (qu’on lira « non a ») l’ensemble des individus qui ne sont pas des a [69], qu’on peut appeler la $\mathrm {Cls}$ contraire à a. Donc [58] :

1. En effet : si deux $\mathrm {Cls}$ sont disjointes [40], leur intersection est rien, même si toutes les deux sont différentes de rien ; et la réunion de deux $\mathrm {Cls}$ peut bien être tout, sans que l’une soit tout et que l’autre soit rien.
2. Dans les manuscrits, pour éviter toute confusion avec le signe arithmétique « $-$ » (« moins »), que Leibniz et Segner employaient aussi comme signe de négation, on lui préfère le signe « $\sim$ », savoir la lettre « n » (initiale du mot « non ») de l’alphabet sténographique de Gabelsberger.