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Pourtant, deux ponts de communication sont donnés par les $\mathrm {P}$ suivantes qui relient les deux rôles de chacun des symboles « $=$ » et « $\supset$ », selon qu’ils sont employés entre deux $\mathrm {Cls}$ ou entre deux conditions explicites par rapport à la même variable [60] :
                                        $x\;\varepsilon \;a\,.\;=\;.\,x\;\varepsilon \;b\,:\,=\,:\;a\;=\;b$(1)

                                        $x\;\varepsilon \;a\,.\;\supset \;.\,x\;\varepsilon \;b\,:\,=\,:\;a\;\supset \;b$(2)

dont la première exprime en symboles que les conditions sont aussi envisagées au point de vue extensif [60] et la seconde exprime l’égalité entre les formules (12) et (13) [55].

On peut les lire : « la condition $x\;\varepsilon \;a$ est égale à (ou implique) la condition $x\;\varepsilon \;b$ toutes les fois que $a$ est égal a (ou est contenu en) $b$ ».

Affirmations simultanées ou alternes

63. Si $a$ et $b$ sont des $\mathrm {Cls}$, leur intersection « $a\;\smallfrown \;b$ » est aussi une $\mathrm {Cls}$ [39] ; par suite, « $x\;\varepsilon \;(a\smallfrown b)$ » est une condition explicite par rapport à $x$ [60], qui est égale à l’affirmation simultanée des conditions « $x\;\varepsilon \;a$ » et « $x\;\varepsilon \;b$ » ; en effet [60], l’ensemble des $x$ qui vérifient à la fois ces deux conditions est égal à l’ensemble des $x$ qui vérifient la condition « $x\;\varepsilon \;(a\smallfrown b)$ », c’est-à-dire [58 $\mathrm {P1}$] à la $\mathrm {Cls}$ « $a\;\smallfrown \;b$ ».

C’est pourquoi on donne au signe « $\smallfrown$ » le rôle de symbole d’affirmation simultanée (entre deux conditions, tandis qu’entre deux $\mathrm {Cls}$ il reste le symbole d’intersection), en lui conservant la lecture « et ». Donc, en symboles :

$x\;\varepsilon \;a\,.\;\smallfrown \;.\,x\;\varepsilon \;b\;:\,=\,:\;x\;\varepsilon \;(a\;\smallfrown \;b)$

ou bien

$x\;$$\varepsilon$$\;(x\;\varepsilon \;a\;.\,\smallfrown \,.\;x\;\varepsilon \;b)\;=\;a\;\smallfrown \;b$

64. Lorsque le signe « $\smallfrown$ » se trouverait placé entre des écritures qui, par leur forme, sont nécessairement des conditions, on a l’habitude de le sous-entendre ; mais sa place reste marquée par un des points ou des groupes de points qui se trouvaient à ses côtés. Donc,

2.                              $x\;\varepsilon \;a\,.\,x\;\varepsilon \;b\;:\,=\,:\;x\;\varepsilon \;a\,.\,\smallfrown \,.\;x\;\varepsilon \;b$

Par suite, les deux dernières formules s’écrivent ainsi :

3.                              $x\;\varepsilon \;a\,.\,x\;\varepsilon \;b\;:\,=\,:\;x\;\varepsilon \;(a\;\smallfrown \;b)$
                                        $x\;$$\varepsilon$$\;(x\;\varepsilon \;a\,.\,x\;\varepsilon \;b)\;=\;a\;\smallfrown \;b$(3)