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60. Nous envisageons toujours les conditions au point de vue de l’extension, ainsi que nous faisons pour les $\mathrm {Cls}$ [27] et qu’on fait d’ordinaire pour les équations. En d’autres termes : deux conditions par rapport à $x$ étant données, quelle qu’en soit la forme, nous disons que l’une est égale à l’autre (selon le langage courant on les dirait équivalentes, mais c’est bien d’une égalité qu’il s’agit [23]) toutes les fois que l’ensemble des $x$ qui vérifient la première est égal à (savoir, est le même que) l’ensemble des $x$ qui vérifient la seconde.

Cela étant établi, je vais démontrer qu’a toute condition par rapport à $x$ on peut donner la forme d’une appartenance entre $x$ et une $\mathrm {Cls}$ déterminée, forme que je nommerai « condition explicite par rapport à $x$ ».

Soit $u$ la condition donnée ; désignons par $a$ l’ensemble des $x$ qui vérifient $u$, c’est-à-dire posons que [59]

$x\;$ $\varepsilon$$\;u\;=\;a$

Avec cela, $a$ est une $\mathrm {Cls}$ déterminée, même si l’on n’en connaît encore aucun individu ; donc, en comparant cette formule à la $\mathrm {P}$ 1 [58], on obtient

$x\;$ $\varepsilon$$\;u\;=\;x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x\;\varepsilon \;a\right)$

et par suite
                                                  $u\;=\;x\;\varepsilon \;a$( c. q. f. d.)

Comme toute « condition par rapport à $x$ » peut acquérir ainsi la forme « $x\;\varepsilon \;a$ », où $a$ est une $\mathrm {Cls}$ déterminée, c’est bien celle-ci la forme que nous lui donnerons dans les formules générales.

En remplaçant $a$ par sa valeur, dans la dernière formule, elle devient

$u\;=\;x\;\varepsilon \;(x\;$$\varepsilon$$\;u)$

et, en résumant cette formule avec la $\mathrm {P}$ 1, il résulte que les écritures « $x\;\varepsilon$ » et « $x\;$$\varepsilon$ » se détruisent l’une par l’autre, quel qu’en soit l’ordre, c’est-à-dire qu’elles représentent toujours deux transformations inverses. Et précisément : l’écriture « $x\;\varepsilon$ » transforme une $\mathrm {Cls}$ quelconque en une « condition par rapport à $x$ » et l’écriture « $x\;$$\varepsilon$ » transforme toute « condition par rapport à $x$ » en une $\mathrm {Cls}$.

61. Boole, et avant lui Leibniz et Lambert, tout en s’occupant des $\mathrm {Cls}$, n’avaient pas manqué d’observer certains liens entre la théorie

isolée. D’autre part, si l’on sent ce scrupule, pourquoi s’arrêter au premier pas ? pourquoi ne pas sentir le besoin de placer cette phrase même devant une $\mathrm {P}$ commençant par « il est vrai que » ? et ainsi sans fin ?