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Cette remarque, bien simple mais très importante, amena M. Peano à représenter ces deux transformations de manière à mettre sous les yeux que l’une est l’inverse de l’autre ; en effet, ayant déjà représenté la phrase (2) par l’écriture « $x\;\varepsilon$ », il représenta la phrase (1) par l’écriture « $x\;$ $\varepsilon$ ».

Ainsi, nous pouvons écrire en symboles

$x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x\;\varepsilon \;\mathrm {Np} \right)\;=\;\mathrm {Np}$

Il est bon de prendre note qu’en général, si $a$ est une $\mathrm {Cls}$ quelconque,

$x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x\;\varepsilon \;a\right)\;=\;a$

ce qui s’exprime complètement en symboles moyennant l’implication [55]^[1]

1.                          $a\;\varepsilon \;\mathrm {Cls} .\;\supset \;.x\;$$\varepsilon$$\;\left(x\;\varepsilon \;a\right)\;=\;a$

Ici $x$ est une variable apparente [52]; $a$ est une variable réelle dans l’$\mathrm {Hp}$ ainsi que dans la $\mathrm {Ts}$, séparément considérées, mais elle est apparente dans l’implication.

59. Une « condition par rapport à $x$ » étant donnée, même si elle n’avait pas la forme d’appartenance par rapport à $x$, nous pouvons représenter l’ensemble des $x$ qui la vérifient, en écrivant devant elle « $x\;$$\varepsilon$ » [58].

Ainsi donc, si $u$ est une équation ayant $x$ pour inconnue [53], avant de la résoudre et quand même on ne serait pas capable de la résoudre, l’écriture « $x\;$$\varepsilon$ $u$ » représentera l’ensemble de ses racines. Par ex., en nous bornant à considérer les racines réelles (au sens mathématique) d’une équation donnée, le fait que, des trois équations

$x^{2}+26=10x\qquad \quad x^{2}+25=10x\qquad \quad x^{2}+16=10x$

la première n’a aucune solution, la deuxième a la seule solution 5 et la troisième a les deux solutions 2 et 8, est exprimé respectivement par les formules [37, 45, 47] :
                                        $x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x^{2}+26=10x\right)\;=\;\land$

                                        $x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x^{2}+25=10x\right)\;=\;\iota 5$

                                        $x\;$ $\varepsilon$$\;\left(x^{2}+16=10x\right)\;=\;\iota 2\smallsmile \iota 8$

1. Ici commence la numération des $\mathrm {P}$ générales, savoir de Logique déductive, complètement écrites en symboles. B. Russell commence chaque $\mathrm {P}$ vraie par un signe particulier qui signifie « il est vrai que » ; mais, par une convention universelle du langage, cette phrase est sous-entendue devant chaque assertion