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celle entre l’arithmétique et l’algèbre) correspond exactement à celle que je viens de faire entre $\mathrm {P}$ et conditions.

Voici, par ex., des identités :

$49-4=9\times 5\qquad \qquad a+b=b+a$

dans la première desquelles il n’y a que des symboles constants, tandis que dans la seconde il y a aussi les variables a et b, mais qui sont des variables apparentes (si dans le traité on a déclare, une fois pour toutes, que chaque lettre $a,\,b,\,c,\,\ldots$ représente un nombre) ; tandis que

$4x+3=11$

est une équation, dont $x$ est la variable réelle, qui est vérifiée seulement si $x$ vaut 2^[1].

Cette distinction mathématique correspond donc exactement à la distinction logique que je viens d’expliquer ; mais celle-ci est bien plus générale, car elle s’étend à des écritures pouvant avoir une forme quelconque (et pas seulement d’égalité) et à des variables pouvant avoir des interprétations quelconques (et pas seulement des nombres).

implications

51. Deux conditions par rapport à une même variable $x$ étant données [52], il peut arriver que, toutes les fois que la première est vérifiée par une interprétation de $x$, la seconde aussi se trouve vérifiée par la même interprétation de $x$. En ce cas, nous dirons que la première condition implique la seconde.

Par ex.,          « $x\;\varepsilon \;$ poisson »xximpliquexx« $x\;\varepsilon$ vertébré »(8)

La signification précise que nous donnons à cette écriture est celle-ci :

« $x$ n’est pas un poisson »xxou bienxx« $x$ est un vertébré »(9)

On peut répéter pour la (9) ce que nous avons dit au sujet de la (5) [51] ; par suite $x$, qui est une variable réelle [52] dans chacune des conditions
« $x\;\varepsilon \;$ poisson »xxetxx« $x\;\varepsilon \;$ vertébré », est une variable

1. Celles qui, dans le langage algébrique, sont appelées les inconnues d’une équation, ne sont que ses variables réelles ; ses solutions ou racines ne sont que les interprétations des variables réelles, qui transforment l’équation en une identité (savoir la condition en une $\mathrm {P}$).