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appartenance [60] ; par suite la (IX) définit la négation d’une condition quelconque.

Par exemple, des $\mathrm {P}$ 60 et 98 on déduit

$\lnot (x=y)\,.\,=\,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,\iota \,y)$

d’où (IX) la P

125.$\ \lnot (x=y)\,.\,=\,.\,x\,\varepsilon \,\lnot \,\iota \,y$

c’est-à-dire « il n’est pas vrai que x soit égal à y » signifie que « x est différent de y ».

La $\mathrm {P}$ 125 ne doit pas être considérée comme une Df, parce qu’elle est une conséquence de la (IX) ; plutôt, si l’on veut adopter la formule «$x\,\lnot =y$ », on la définira par la $\mathrm {P}$ 21

$x\,\lnot =y\,.\,=\,.\,\lnot (x=y)$(X)

dont la $\mathrm {P}$ 125 complète l’explication.

Après quoi, je définis la formule « $a\lnot b$ » dans ses deux rôles, moyennant la $\mathrm {P}$ 29 :

$a\,\lnot b=a\smallfrown \lnot b$(XI)

et je définis le symbole « $\smallsmile$ » dans ses deux rôles au moyen de la $\mathrm {P}$ 105

$a\smallsmile b=\lnot [\lnot a\smallfrown \lnot b]$(XII)^[1]

Le symbole « $\vee$ » se trouve déjà défini par la $\mathrm {P}$ 36

$\vee =\lnot \,\wedge$(XIII)

et le symbole « $\circ$ » (aut) par la $\mathrm {P}$ 30

$a\circ b=(a\,\lnot \,b)\smallsmile (b\,\lnot \,a)$(XIV)

Je définis l’écriture « $\exists \,a$ » par la P

126.$\exists a\,.\,=\,.\,a\,\varepsilon \,(\mathrm {Cls} \,\lnot \,\iota \,\wedge )$(XV)

c’est-à-dire : « $\exists \,a$ » signifie que « a est une $\mathrm {Cls}$ distincte de $\wedge$ », d’où la lecture : « il y a des a »^[2].

1. Les (XI), (XII) se trouvent aussi dans le Formulaire, mais précédées de l’$\mathrm {Hp}$
   « $a,b\,\varepsilon \,\mathrm {Cls}$ »

   
   et par suite elles peuvent servir à définir les écritures « $a\,\lnot b$ » et « $a\smallsmile b$ » seulement dans leur premier rôle.

2. Si dans la $\mathrm {P}$ 38
   $\exists \,a\,:\,=\,:\,a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\,a\,\lnot =\wedge$

   
   on remplace « $a\,\lnot =\wedge$ » par « $\lnot (a=\wedge )$ » (X) et ensuite par « $a\,\varepsilon \,\lnot \,\iota \,\wedge$ » [$\mathrm {P}$ 125], on obtient

   $\exists \,a\,:\,=\,:\,a\,\varepsilon \,\lnot \,\iota \,\vee$