tteindre complètement ce but. La première est celle de M. Gyldén, qui est fondée sur l'emploi des fonctions elliptiques; la seconde est celle de M. Lindstedt, dont je me suis surtout occupé.
Dans cette dernière méthode, un artifice ingénieux permet à chaque approximation de faire disparaître les termes séculaires qui peuvent s'être introduits. II est aisé de voir que cet artifice réussira toujours s'il n'y a qu'un terme à faire disparaître; mais il n'en serait plus de même s'il s'était introduit à la fois deux termes séculaires. Il est facile de vérifier d'ailleurs que, dans les premières approximations, on n'a à se débarrasser que d'un seul terme; mais on peut se demander s'il doit en être toujours ainsi. Un examen superficiel pourrait faire croire le contraire, et même M. Lindstedt était disposé à penser que sa méthode ne réussirait que s'il n'y avait entre les arguments aucune relation linéaire.
Je suis parvenu à démontrer que le terme séculaire qui peut apparaître à chaque approximation est toujours unique et que, par conséquent, la méthode de M. Lindstedt est toujours applicable (96). Pour cela, j'ai eu recours à un théorème qui semblait ne se rapporter en aucune façon à la question, c'est-à-dire au théorème de Green. La méthode de M. Lindstedt permet donc d'exprimer les coordonnées des astres par des séries purement trigonométriques qui satisfont formellement aux équations de leur mouvement.
Il reste à savoir si ces séries sont convergentes. J'ai donc été amené pour contribuer à la solution de celte question à étudier les conditions de convergence des séries trigonométriques (42,92). J'ai reconnu ainsi deux faits principaux :
- 1) Si une pareille série est absolument convergente pour certaines valeurs du temps, elle l'est éternellement; il n'en est plus de même quand la convergence n'est plus absolue.
- 2) Une même fonction ne peut pas être représentée par deux séries différentes absolument convergentes.
Je n'ai pu résoudre, de façon à me mettre à l'abri de toute objection, la question de la convergence des séries particulières de M. Lindstedt; cependant, j'ai tout lieu de penser que ces séries ne convergent pas absolument, mais que, en ordonnant convenablement les termes, on peut les rendre semi-convergentes. La convergence pourrait alors ne subsister que pendant un intervalle de temps limité.
On croit d'ordinaire qu'une fonction représentée par une série trigonométrique absolument convergente ne peut croître au delà de toute limite. C'est même cette croyance qui sert de fondement aux démonstrations anciennes de la stabilité du système solaire et qui, depuis, a conduit les astronomes à faire tant d'efforts pour faire rentrer le temps sous les signes sinus et cosinu
