un système de formes, et j'ai choisi comme exemple le système d'une forme quadratique ternaire et d'une forme (4,81) linéaire dont j'ai étudié la réduction simultanée. La réduction continuelle d'un pareil système de formes est tout à fait analogue à celle d'une forme unique. Elle peut servir également à déterminer les substitutions semblables du système. Ces substitutions semblables existent toujours; mais, ayant voulu, dans un exemple particulier, calculer les coefficients de la plus simple d'entre elles, j'ai trouvé des nombres entiers de plus de huit chiffres.
Les lois de la réduction d'une forme quelconque étant connues, il est facile de reconnaître si deux formes sont équivalentes; mais ce n'est là qu'un premier pas.
Le principal problème à résoudre, c'est de rechercher si un nombre donné peut être représenté par une forme donnée. Je me suis occupé spécialement de la représentation par une forme binaire (7,89). Égalant la forme binaire à 0, on en tire pour le rapport x/y une certaine valeur. Avec cette valeur, je forme un système de nombres complexes et d'idéaux. Le problème de la représentation des nombres par les formes se ramène à la recherche des idéaux de norme donnée. J'ai donné, en me fondant sur les mêmes principes que dans mon Mémoire intitulé Sur un mode nouveau de représentation géométrique des formes quadratiques, la manière de former tous les idéaux de norme N, de former tous les idéaux premiers et leurs puissances, de multiplier deux idéaux, de décomposer un idéal en facteurs premiers, etc. Pour cela j'envisage une certaine congruence, que je décompose en facteurs irréductibles. A chacun de ces facteurs irréductibles correspond un idéal.
On trouve toutes les représentations d'un nombre donné quand on connaît tous les idéaux dont la norme est le nombre donné, mais tous ces idéaux ne donnent pas naissance à une représentation du nombre. Il importerait donc de savoir distinguer a priori quels sont les idéaux qui conduiront à une pareille représentation. Tout ce que j'ai pu faire dans ce sens a été de montrer qu'ils devaient tous se trouver parmi les idéaux auxquels correspond un facteur irréductible linéaire de la congruence dont j'ai parlé plus haut (et par conséquent une racine réelle de cette congruence).
Dans deux Notes que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie les 9 et 16 janvier 1882, j'ai cherché quelle était la véritable signification de la notion de genre définie par Gauss pour les formes quadratiques binaires et étendue par Eisenstein aux formes quadratiques ternaires, et je suis arrivé à en donner les définitions suivantes :
- 1) Deux formes sont équivalentes suivant le module n, si l'on peut
