A cet effet, on décompose chacune de ces formes en deux facteurs linéaires et l'on exprime en fonction des invariants de ces Facteurs les coefficients de la substitution qui permet de passer d'une forme à l'autre, à supposer qu'elles soient équivalentes. Il est aisé ensuite de voir si les coefficients ainsi obtenus sont entiers et s'ils permettent effectivement de passer d'une forme à l'autre. Dans le cas où il n'en serait pas ainsi, on serait certain qu'il n'y aurait,pas équivalence.
Les formes quadratiques binaires définies ou indéfinies possèdent également des invariants arithmétiques dont j'ai étudié les propriétés. Pour que deux formes soient équivalentes, il faut et il suffit que tous leurs invariants soient égaux. Toutefois, pour reconnaître rapidement l'équivalence, il est préférable de décomposer chaque forme en deux facteurs linéaires et d'envisager les invariants de ce système de formes linéaires.
Tous ces invariants sont susceptibles d'être exprimés :
- 1) par des intégrales définies;
- 2) par des séries.
L'un des problèmes les plus importants qui se posent au sujet des formes quadratiques ternaires indéfinies est l'étude des propriétés des groupes discontinus formés par les a substitutions semblables », c'est-à-dire par les substitutions linéaires qui n'altèrent pas ces formes (98, 60). Soit F(x, y , z) une forme quadratique indéfinie. On peut choisir la constante K de telle façon que F(x, y, z) = K représente un hyperboloïde à deux nappes. Les substitutions semblables changeront alors un point de cet hyperboloïde en un autre point de cette même nappe, de sorte que, le groupe étant discontinu, l'hyperboloïde se trouvera partagé en une infinité de polygones curvilignes, dont les côtés seront des sections diamétrales de la surface. Les substitutions semblables changeront ces polygones les uns dans les autres. Faisons maintenant une perspective en plaçant l'oeil en un ombilic de la surface et prenant pour plan du Tableau une section circulaire. Une nappe de l'hyperboloïde se projettera suivant un cercle, et les polygones que nous avons tracés sur cette nappe se projetteront suivant des polygones curvilignes, limités par des arcs de cercle reproduisant identiquement la figure dont nous avons parlé (p. 19 et suivantes), à propos de la théorie des groupes fuchsiens. Ainsi, l'étude des groupes de substitutions semblables des formes quadratiques est ramenée A celle des groupes fuchsiens, ce qui est un rapprochement inattendu entre deux théories très différentes et une application nouvelle de la Géométrie non euclidienne.
Après avoir signalé un certain nombre de propriétés de ces groupes fuchsiens particuliers, j'ai abordé une question un peu différente.
Les substitutions semblables sont celles qui reproduisent une forme quadratique et qui en même temps appartiennent au groupe G des substitutions à coefficients
